苏州大学 2026年数学分析第9题
📝 题目
9．（15 分）二元函数 $\displaystyle u(x, y)$ 在区域 $\displaystyle D=[0,1] \times[0,1]$ 上具有二阶连续偏导数，且在边界 $\displaystyle \partial D$ 上 $\displaystyle u=0$ ．如果
$$
\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}(x, y)+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}(x, y)=-\lambda u(x, y), \forall(x, y) \in D
$$
（1）证明： $\displaystyle \iint_{D}\left[\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^{2}\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\lambda \iint_{D} u^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
（2）若存在函数 $\displaystyle f, g$ ，使得 $u$ 可以表示为 $\displaystyle u(x, y)=f(x) g(y)$ ，且在区域 $D$ 内部 $\displaystyle u>0$ ，求 $\displaystyle \lambda$ 的值．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明等式（1）成立
首先，考虑积分 $\iint_D (u_x^2 + u_y^2) \, dxdy$，将其写为 $\iint_D \nabla u \cdot \nabla u \, dxdy$。利用二维散度定理（格林第一公式）：$\iint_D \nabla u \cdot \nabla u \, dxdy = \oint_{\partial D} u (\nabla u \cdot \mathbf{n}) \, ds - \iint_D u \Delta u \, dxdy$。由于在边界 $\partial D$ 上 $u=0$，线积分项为零，因此 $\iint_D (u_x^2+u_y^2) \, dxdy = - \iint_D u \Delta u \, dxdy$。由已知条件 $\Delta u = -\lambda u$，代入得 $-\iint_D u (-\lambda u) \, dxdy = \lambda \iint_D u^2 \, dxdy$，等式得证。
公式：\iint_D (u_x^2+u_y^2) \, dxdy = \lambda \iint_D u^2 \, dxdy
提示：注意边界条件 $u=0$ 是消去线积分项的关键，不要遗漏负号。
步骤 2/5
目标：分离变量并代入方程
设 $u(x,y)=f(x)g(y)$，代入方程 $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=-\lambda u$，得 $f''(x)g(y)+f(x)g''(y) = -\lambda f(x)g(y)$。由于在区域内部 $u>0$，故 $f(x)g(y) \neq 0$，两边除以 $f(x)g(y)$ 得 $\frac{f''(x)}{f(x)} + \frac{g''(y)}{g(y)} = -\lambda$。
公式：\frac{f''(x)}{f(x)} + \frac{g''(y)}{g(y)} = -\lambda
提示：分离变量时，确保分母不为零，题目已给出内部 $u>0$ 的条件。
步骤 3/5
目标：引入常数并确定边界条件
由于左边两项分别只依赖于 $x$ 和 $y$，它们必须为常数。设 $\frac{f''(x)}{f(x)} = -a$，$\frac{g''(y)}{g(y)} = -b$，则 $-a - b = -\lambda$，即 $\lambda = a+b$。由边界条件，在 $x=0$ 和 $x=1$ 上 $u=0$ 得 $f(0)g(y)=0$ 和 $f(1)g(y)=0$，由于 $g(y)>0$，故 $f(0)=0$，$f(1)=0$。同理，$g(0)=0$，$g(1)=0$。
公式：f(0)=f(1)=0, \quad g(0)=g(1)=0
提示：边界条件 $u=0$ 在边界上对所有变量成立，需分别考虑每个变量的零点。
步骤 4/5
目标：求解常微分方程特征值问题
对于 $f$，方程 $f'' + a f = 0$ 且 $f(0)=f(1)=0$，这是经典的 Sturm-Liouville 问题。非零解要求 $a>0$，通解为 $f(x)=C\sin(\sqrt{a}\,x)$。由 $f(1)=0$ 得 $\sqrt{a}=n\pi$，即 $a=n^2\pi^2$，$n$ 为正整数。同理，对于 $g$，方程 $g''+b g=0$ 且 $g(0)=g(1)=0$，得 $b=m^2\pi^2$，$m$ 为正整数。
公式：a = n^2\pi^2, \quad b = m^2\pi^2, \quad n,m \in \mathbb{Z}^+
提示：注意 $a$ 和 $b$ 必须为正数才能得到非零解，否则只有零解。
步骤 5/5
目标：得出 λ 的值
由 $\lambda = a+b$，代入得 $\lambda = (n^2+m^2)\pi^2$，其中 $n,m$ 为正整数。若题目要求最小正值，通常取 $n=m=1$，则 $\lambda = 2\pi^2$。
公式：\lambda = (n^2+m^2)\pi^2
提示：特征值依赖于两个正整数，答案应保留一般形式或明确最小特征值。
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