苏州大学 2026年数学分析第8题

设拉格朗日函数为： $$L(x,y,z,\lambda)=2(x^3+y^3+z^3)-5(x^2+y^2+z^2)+\lambda(3-x-y-z)$$ 分别对 $x,y,z,\lambda$ 求偏导并令其为零： $$\frac{\partial L}{\partial x}=6x^2-10x-\lambda=0 \Rightarrow \lambda=6x^2-10x$$ $$\frac{\partial L}{\partial y}=6y^2-10y-\lambda=0 \Rightarrow \lambda=6y^2-10y$$ $$\frac{\partial L}{\partial z}=6z^2-10z-\lambda=0 \Rightarrow \lambda=6z^2-10z$$ $$\frac{\partial L}{\partial \lambda}=3-x-y-z=0 \Rightarrow x+y+z=3$$

由 $6x^2-10x=6y^2-10y=6z^2-10z$ 可知，变量取值要么全部相等，要么取二次方程 $6t^2-10t=c$ 的两个不同根。该二次方程的两根之和为 $\frac{10}{6}=\frac{5}{3}$，因此若两个变量不同，它们的和必为 $\frac{5}{3}$。

设 $x=y=z$，由约束 $x+y+z=3$ 得 $x=y=z=1$。代入原函数： $$f(1,1,1)=2(1+1+1)-5(1+1+1)=6-15=-9$$

设 $x=y=a$，$z=b$，且 $a\neq b$。由根与系数关系得 $a+b=\frac{5}{3}$，由约束得 $2a+b=3$。两式相减得 $a=3-\frac{5}{3}=\frac{4}{3}$，进而 $b=3-2\times\frac{4}{3}=\frac{1}{3}$。代入函数： $$f\left(\frac{4}{3},\frac{4}{3},\frac{1}{3}\right)=2\left(2\cdot\frac{64}{27}+\frac{1}{27}\right)-5\left(2\cdot\frac{16}{9}+\frac{1}{9}\right)$$ $$=2\cdot\frac{129}{27}-5\cdot\frac{33}{9}=\frac{258}{27}-\frac{165}{9}=\frac{258}{27}-\frac{495}{27}=-\frac{237}{27}=-\frac{79}{9}$$

若三个变量互不相等，则它们必须同时是二次方程 $6t^2-10t=c$ 的两个不同根，但二次方程至多有两个不同的实根，因此三个互不相等的实数不可能同时满足该等式。故这种情况不存在。

考虑 $z=0$，则 $x+y=3$，$x,y\ge0$。代入函数得： $$f=2[x^3+(3-x)^3]-5[x^2+(3-x)^2]$$ 展开计算： $$x^3+(3-x)^3=27-27x+9x^2$$ $$x^2+(3-x)^2=2x^2-6x+9$$ 所以 $$f=2(27-27x+9x^2)-5(2x^2-6x+9)=54-54x+18x^2-10x^2+30x-45=8x^2-24x+9$$ 这是开口向上的二次函数，顶点在 $x=\frac{24}{16}=1.5$，此时 $f=8\times2.25-24\times1.5+9=18-36+9=-9$。端点 $x=0$ 时 $y=3$，$f=2(0+27)-5(0+9)=54-45=9$；$x=3$ 时同理得 $9$。由对称性，其他变量为0的情况结果相同。

内部驻点值：$(1,1,1)$ 对应 $-9$，$(\frac{4}{3},\frac{4}{3},\frac{1}{3})$ 对应 $-\frac{79}{9}\approx-8.78$。边界值：$(3,0,0)$ 及其排列对应 $9$，$(1.5,1.5,0)$ 对应 $-9$。因此全局最小值为 $-9$，全局最大值为 $9$。