苏州大学 2026年数学分析第5题
📝 题目
5．（15 分）解答如下问题：
（1）判断函数列 $\displaystyle f_{n}(x)=n x e^{-n x^{2}}$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上的一致收敛性．
（2）判断函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln \left(1+n^{2} x^{2}\right)}{n^{2}}$ 在 $\displaystyle (-2,2)$ 上的一致收玫性．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：求函数列的逐点极限函数
对任意固定的 $x \in (-\infty, +\infty)$，考虑极限 $\lim_{n\to\infty} f_n(x) = \lim_{n\to\infty} n x e^{-n x^2}$。当 $x=0$ 时，$f_n(0)=0$，极限为 $0$；当 $x \neq 0$ 时，指数衰减 $e^{-n x^2}$ 比线性增长 $n$ 更快，极限也为 $0$。因此逐点极限函数为 $f(x)=0$。
公式：$\lim_{n\to\infty} n x e^{-n x^2} = 0$
提示：注意 $x=0$ 需要单独讨论，但结果一致。
步骤 2/5
目标：计算函数列的上确界范数以判断一致收敛性
为判断 $f_n(x)$ 是否一致收敛到 $0$，需计算 $\sup_{x\in\mathbb{R}} |f_n(x)|$。求导 $f_n'(x) = n e^{-n x^2} (1 - 2n x^2)$，令导数为 $0$ 得临界点 $x = \pm \frac{1}{\sqrt{2n}}$。代入得 $f_n\left(\frac{1}{\sqrt{2n}}\right) = \sqrt{\frac{n}{2}} e^{-1/2}$，因此 $\sup_{x\in\mathbb{R}} |f_n(x)| = \sqrt{\frac{n}{2}} e^{-1/2} \to \infty$ 当 $n\to\infty$。
公式：$\sup_{x\in\mathbb{R}} |f_n(x)| = \sqrt{\frac{n}{2}} e^{-1/2}$
提示：上确界趋于无穷大，不满足一致收敛的充要条件。
步骤 3/5
目标：得出函数列一致收敛性的结论
由于 $\sup_{x\in\mathbb{R}} |f_n(x)|$ 不趋于 $0$，函数列 $f_n(x)$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 上不一致收敛。
提示：一致收敛要求上确界趋于 $0$，此处趋于无穷，故不一致收敛。
步骤 4/5
目标：对函数项级数应用 Weierstrass M-判别法
考虑级数 $\sum_{n=1}^\infty \frac{\ln(1+n^2 x^2)}{n^2}$，在区间 $(-2,2)$ 上，有 $|x| < 2$，因此 $0 \le \frac{\ln(1+n^2 x^2)}{n^2} \le \frac{\ln(1+4n^2)}{n^2}$。令 $M_n = \frac{\ln(1+4n^2)}{n^2}$，则 $\sum_{n=1}^\infty M_n$ 收敛（因为 $\frac{\ln(1+4n^2)}{n^2} \sim \frac{2\ln n}{n^2}$，而 $\sum \frac{\ln n}{n^2}$ 收敛）。
公式：$M_n = \frac{\ln(1+4n^2)}{n^2}$，$\sum M_n$ 收敛
提示：需验证 $M_n$ 与 $x$ 无关且级数收敛，这是 M-判别法的关键。
步骤 5/5
目标：得出函数项级数一致收敛性的结论
由 Weierstrass M-判别法，存在收敛的常数项级数 $\sum M_n$ 控制原级数，因此原级数在 $(-2,2)$ 上一致收敛。
提示：M-判别法给出的是充分条件，此处适用。
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