苏州大学 2026年数学分析第6题
📝 题目
6．（20 分）解答如下问题：
（1）求积分 $\displaystyle \int_{0}^{1}(\ln x)^{2026} \mathrm{~d} x$ ．
（2）求积分 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln (\sin x) \mathrm{d} x$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：对第一个积分进行变量代换，化为Gamma函数形式
令 $t = -\ln x$，则 $x = e^{-t}$，$dx = -e^{-t} dt$。当 $x \to 0^+$ 时 $t \to +\infty$，当 $x = 1$ 时 $t = 0$。代入积分得：
$$I = \int_{0}^{1} (\ln x)^{2026} dx = \int_{+\infty}^{0} (\ln(e^{-t}))^{2026} \cdot (-e^{-t}) dt = \int_{+\infty}^{0} (-t)^{2026} \cdot (-e^{-t}) dt = \int_{0}^{+\infty} t^{2026} e^{-t} dt$$
公式：$\Gamma(n+1) = \int_{0}^{\infty} t^n e^{-t} dt$
提示：注意 $(-t)^{2026} = t^{2026}$ 因为指数为偶数，代换后积分限要正确翻转。
步骤 2/6
目标：利用Gamma函数计算第一个积分
由Gamma函数定义，$\int_{0}^{\infty} t^{2026} e^{-t} dt = \Gamma(2027) = 2026!$。因此第一个积分结果为 $2026!$。
公式：$\Gamma(n+1) = n!$
提示：Gamma函数与阶乘的关系：$\Gamma(n+1)=n!$，适用于正整数n。
步骤 3/6
目标：利用对称性处理第二个积分
令 $x = \frac{\pi}{2} - t$，则 $dx = -dt$，积分限从 $0$ 到 $\frac{\pi}{2}$ 变为从 $\frac{\pi}{2}$ 到 $0$，交换限后得：
$$J = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin x) dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln(\cos t) dt$$ 因此 $J = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin x) dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln(\cos x) dx$。
公式：$\sin(\frac{\pi}{2} - x) = \cos x$
提示：对称性代换是处理此类积分的常用技巧。
步骤 4/6
目标：将两个相同积分相加并化简
两式相加得：
$$2J = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} [\ln(\sin x) + \ln(\cos x)] dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln\left(\frac{\sin 2x}{2}\right) dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin 2x) dx - \frac{\pi}{2} \ln 2$$
公式：$\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$
提示：注意对数性质：$\ln(ab) = \ln a + \ln b$，$\ln(a/b) = \ln a - \ln b$。
步骤 5/6
目标：处理积分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin 2x) dx$
令 $u = 2x$，则 $dx = \frac{du}{2}$，当 $x=0$ 时 $u=0$，当 $x=\frac{\pi}{2}$ 时 $u=\pi$。于是：
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin 2x) dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} \ln(\sin u) du$$ 由对称性，$\int_{0}^{\pi} \ln(\sin u) du = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin u) du = 2J$，因此该积分等于 $J$。
公式：$\int_{0}^{\pi} \ln(\sin u) du = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin u) du$
提示：注意 $\sin(\pi - u) = \sin u$，所以 $\ln(\sin u)$ 在 $[0,\pi]$ 上关于 $u=\pi/2$ 对称。
步骤 6/6
目标：解方程得到第二个积分结果
代入 $2J = J - \frac{\pi}{2} \ln 2$，移项得 $J = -\frac{\pi}{2} \ln 2$。因此第二个积分结果为 $-\frac{\pi}{2} \ln 2$。
公式：无
提示：解方程时注意符号，最终结果为负数。
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