苏州大学 2026年数学分析第1题
📝 题目
1．（ 20 分）解答如下问题：
（1）计算极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin (n x)-n \sin x}{n^{3} x^{3}}$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}(1+x)^{\frac{1}{x}}, & x \neq 0, \\ e, & x=0 .\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle f^{\prime}(0)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：计算内层极限：固定n，求x→0时的极限
对于固定的n，考虑极限
\[
\lim_{x \to 0} \frac{\sin(nx)-n\sin x}{n^3 x^3}.
\]
由于分子分母都趋于0，使用泰勒展开：
\[
\sin t = t - \frac{t^3}{6} + O(t^5),
\]
代入得
\[
\sin(nx) = nx - \frac{n^3 x^3}{6} + O(x^5), \quad n\sin x = n\left(x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)\right) = nx - \frac{n x^3}{6} + O(x^5).
\]
相减得
\[
\sin(nx)-n\sin x = \left(nx - \frac{n^3 x^3}{6}\right) - \left(nx - \frac{n x^3}{6}\right) + O(x^5) = \frac{x^3}{6}(n - n^3) + O(x^5).
\]
公式：\sin t = t - \frac{t^3}{6} + O(t^5)
提示：注意展开到x^3项即可，更高阶项不影响极限。
步骤 2/6
目标：化简内层极限表达式
将分子代入原分式：
\[
\frac{\sin(nx)-n\sin x}{n^3 x^3} = \frac{\frac{x^3}{6}(n - n^3) + O(x^5)}{n^3 x^3} = \frac{n - n^3}{6 n^3} + \frac{O(x^2)}{n^3}.
\]
当x→0时，含O(x^2)的项趋于0，因此内层极限为
\[
\lim_{x \to 0} \frac{\sin(nx)-n\sin x}{n^3 x^3} = \frac{n - n^3}{6 n^3} = \frac{1}{6n^2} - \frac{1}{6}.
\]
公式：\frac{n - n^3}{6 n^3} = \frac{1}{6n^2} - \frac{1}{6}
提示：注意O(x^5)/x^3 = O(x^2)，当x→0时趋于0。
步骤 3/6
目标：计算外层极限：n→∞
对已求得的内层极限结果取n→∞：
\[
\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{6n^2} - \frac{1}{6} \right) = 0 - \frac{1}{6} = -\frac{1}{6}.
\]
因此原极限值为-1/6。
公式：\lim_{n \to \infty} \frac{1}{6n^2} = 0
提示：外层极限是简单的极限，注意先求内层再求外层。
步骤 4/6
目标：第二题：利用导数定义写出极限表达式
由导数定义：
\[
f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h)-f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(1+h)^{1/h} - e}{h}.
\]
这是一个0/0型未定式。
公式：f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h)-f(0)}{h}
提示：注意f(0)=e是定义值，不要用极限形式代入。
步骤 5/6
目标：对(1+h)^{1/h}取对数并展开
令g(h) = (1+h)^{1/h}，则
\[
\ln g(h) = \frac{\ln(1+h)}{h}.
\]
当h→0时，展开ln(1+h) = h - \frac{h^2}{2} + \frac{h^3}{3} - \cdots，所以
\[
\frac{\ln(1+h)}{h} = 1 - \frac{h}{2} + \frac{h^2}{3} - \cdots.
\]
因此
\[
g(h) = \exp\left(1 - \frac{h}{2} + O(h^2)\right) = e \cdot \exp\left(-\frac{h}{2} + O(h^2)\right).
\]
公式：\ln(1+h) = h - \frac{h^2}{2} + O(h^3)
提示：展开到h的一次项即可，因为分母是h。
步骤 6/6
目标：展开指数并代入极限表达式
利用指数展开e^u = 1 + u + O(u^2)，其中u = -h/2 + O(h^2)，得
\[
g(h) = e\left(1 - \frac{h}{2} + O(h^2)\right).
\]
代入极限：
\[
\frac{g(h)-e}{h} = \frac{e\left(1 - \frac{h}{2} + O(h^2)\right) - e}{h} = \frac{-\frac{e h}{2} + O(h^2)}{h} = -\frac{e}{2} + O(h).
\]
取h→0，得f'(0) = -e/2。
公式：e^u = 1 + u + O(u^2)
提示：注意O(h^2)/h = O(h) → 0，因此极限为-e/2。
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