苏州科技大学 2026年数学分析第10题
📝 题目
10、（15 分）$f$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n \int_{0}^{1} x^{n} f(x) d x=f(1)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：分析积分结构，建立直观理解
考虑积分 $I_n = n \int_0^1 x^n f(x) \, dx$。当 $n$ 很大时，$x^n$ 在 $x<1$ 处迅速衰减，仅在 $x=1$ 附近显著非零，因此积分主要贡献来自 $x=1$ 邻域，极限应与 $f(1)$ 相关。
公式：$I_n = n \int_0^1 x^n f(x) \, dx$
提示：注意 $x^n$ 在 $[0,1)$ 上随 $n$ 增大趋于0，仅在端点 $x=1$ 处恒为1，这是积分集中效应的关键。
步骤 2/8
目标：验证特殊情况：常数函数
取 $f(x) \equiv 1$，则 $n \int_0^1 x^n \cdot 1 \, dx = n \cdot \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1} \to 1$，与 $f(1)=1$ 一致。这为一般情形提供思路。
公式：$n \int_0^1 x^n \, dx = \frac{n}{n+1}$
提示：此步骤验证了极限公式在常数函数下成立，提示可将一般函数分解为常数部分和误差部分。
步骤 3/8
目标：将一般函数分解为常数项和误差项
令 $f(x) = f(1) + [f(x) - f(1)]$，则 $I_n = n f(1) \int_0^1 x^n \, dx + n \int_0^1 x^n [f(x)-f(1)] \, dx$。第一项趋于 $f(1)$，只需证明第二项趋于0。
公式：$I_n = n f(1) \int_0^1 x^n \, dx + n \int_0^1 x^n g(x) \, dx$，其中 $g(x)=f(x)-f(1)$
提示：分解技巧是处理极限的常用方法，将问题转化为证明误差项消失。
步骤 4/8
目标：估计误差项：利用连续性分割积分区间
记 $g(x)=f(x)-f(1)$，则 $g$ 连续且 $g(1)=0$。对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$ 使得当 $1-\delta < x \le 1$ 时 $|g(x)|<\varepsilon$。将积分分为 $[0,1-\delta]$ 和 $[1-\delta,1]$ 两段。
公式：$n \int_0^1 x^n g(x) \, dx = n \int_0^{1-\delta} x^n g(x) \, dx + n \int_{1-\delta}^1 x^n g(x) \, dx$
提示：连续性保证了在1附近可以控制误差，分割区间是处理含参数积分的标准技巧。
步骤 5/8
目标：估计第一段积分（远离1的部分）
在 $[0,1-\delta]$ 上，$x^n \le (1-\delta)^n$，且 $|g(x)| \le M$（$M$ 为 $|g|$ 在 $[0,1]$ 上的上界）。则 $\left| n \int_0^{1-\delta} x^n g(x) \, dx \right| \le n M (1-\delta)^n \int_0^{1-\delta} dx \le n M (1-\delta)^n$。由于 $0<1-\delta<1$，$n(1-\delta)^n \to 0$，故当 $n$ 充分大时此项小于 $\varepsilon$。
公式：$\left| n \int_0^{1-\delta} x^n g(x) \, dx \right| \le n M (1-\delta)^n$
提示：注意 $n(1-\delta)^n \to 0$ 的证明：取对数或利用 $\lim_{n\to\infty} n q^n = 0$（$0
步骤 6/8
目标：估计第二段积分（靠近1的部分）
在 $[1-\delta,1]$ 上，$|g(x)|<\varepsilon$，则 $\left| n \int_{1-\delta}^1 x^n g(x) \, dx \right| \le n \varepsilon \int_{1-\delta}^1 x^n \, dx \le n \varepsilon \int_0^1 x^n \, dx = \varepsilon \cdot \frac{n}{n+1} < \varepsilon$。
公式：$\left| n \int_{1-\delta}^1 x^n g(x) \, dx \right| \le \varepsilon \cdot \frac{n}{n+1} < \varepsilon$
提示：此处利用了 $\int_{1-\delta}^1 x^n \, dx \le \int_0^1 x^n \, dx$ 的放缩，简化计算。
步骤 7/8
目标：综合两部分，证明误差项趋于0
对任意 $\varepsilon>0$，取上述 $\delta$，则当 $n$ 充分大时，第一段积分绝对值 $<\varepsilon$，第二段积分绝对值 $<\varepsilon$，故 $\left| n \int_0^1 x^n g(x) \, dx \right| < 2\varepsilon$，即 $\lim_{n\to\infty} n \int_0^1 x^n g(x) \, dx = 0$。
公式：$\lim_{n\to\infty} n \int_0^1 x^n g(x) \, dx = 0$
提示：注意 $\varepsilon$ 的任意性，这是极限定义的典型应用。
步骤 8/8
目标：得出最终结论
由分解 $I_n = n f(1) \int_0^1 x^n \, dx + n \int_0^1 x^n g(x) \, dx$，第一项趋于 $f(1)$，第二项趋于0，因此 $\lim_{n\to\infty} n \int_0^1 x^n f(x) \, dx = f(1)$。
公式：$\lim_{n \to \infty} n \int_0^1 x^n f(x) \, dx = f(1)$
提示：最终结果简洁，体现了积分集中效应的本质。
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