📝 苏州科技大学 2026年数学分析真题

1、（15 分）求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1^{-}}\left(1-x^{2}\right)^{\frac{1}{\ln (1-x)}}$ ．

2、（15 分）已知 $\displaystyle f(1)=f(0), f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，证明：$\displaystyle f(\xi)=f\left(\xi+\frac{1}{2}\right)$ ．

3、（15 分）设 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \in R^{3}$ ，求 $\displaystyle f(x, y, z)=\left[\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}+\left(z-z_{0}\right)^{2}\right]^{-\frac{1}{2}}$ 的偏导数．

4、（15 分）证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_{0}} R(x)=0, R(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{q} & \left(x=\frac{p}{q}, p, q \text { 互质 }\right) \\ 0 & x \text { 为无理数，} 0,1\end{array}\right.$ ．

5、（15 分）求 $\displaystyle (x-1)^{2}+y^{2}=1$ 上与 $\displaystyle (0,1)$ 距离的最大值和最小值．

6、（15 分）求 $\displaystyle \int \frac{y}{x^{2}+y^{2}} d x-\frac{x}{x^{2}+y^{2}} d y\left(c: x^{2}+y^{2}=a\right)$ ．

7、（15 分）求 $\displaystyle \iint_{S} x y z d x d y, S$ 为 $\displaystyle x \geq 0, x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ ．

8、（15 分）判断 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{n}$ 敛散性．

9、（15 分）判断 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x^{p}} d x(0<p<2)$ 敛散性．

10、（15 分）$f$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n \int_{0}^{1} x^{n} f(x) d x=f(1)$ ．