苏州科技大学 2026年数学分析第8题
📝 题目
8、（15 分）判断 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{n}$ 敛散性．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析参数 x 的特殊取值
当 $x = k\pi$（$k \in \mathbb{Z}$）时，$\sin(nx) = \sin(nk\pi) = 0$ 对所有 $n$ 成立，因此级数的每一项均为 0，级数显然收敛，且和为 0。
公式：$\sin(nk\pi)=0$
提示：注意整数倍 $\pi$ 包括 $x=0$ 的情况，此时级数每一项都是 0。
步骤 2/5
目标：考虑 x 不是 π 的整数倍时的收敛性
当 $x \neq k\pi$ 时，考虑部分和 $S_N = \sum_{n=1}^N \sin(nx)$。利用三角恒等式：
$$
\sum_{n=1}^N \sin(nx) = \frac{\sin\left(\frac{Nx}{2}\right) \sin\left(\frac{(N+1)x}{2}\right)}{\sin\left(\frac{x}{2}\right)},
$$
由于 $x$ 不是 $2\pi$ 的整数倍，分母 $\sin(x/2) \neq 0$，因此 $|S_N| \leq 1/|\sin(x/2)|$，即部分和有界。
公式：$\sum_{n=1}^N \sin(nx) = \frac{\sin\left(\frac{Nx}{2}\right) \sin\left(\frac{(N+1)x}{2}\right)}{\sin\left(\frac{x}{2}\right)}$
提示：注意 $x$ 不能是 $2\pi$ 的整数倍，但 $x=k\pi$ 时 $x/2$ 可能为 $\pi/2$ 的整数倍，分母仍可能为零，需单独处理。
步骤 3/5
目标：应用 Dirichlet 判别法
数列 $\{1/n\}$ 单调递减趋于 0，且部分和 $\sum_{n=1}^N \sin(nx)$ 有界（当 $x \neq k\pi$ 时）。由 Dirichlet 判别法，级数 $\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(nx)}{n}$ 收敛。
公式：Dirichlet 判别法：若 $\{a_n\}$ 单调趋于 0，$\sum b_n$ 的部分和有界，则 $\sum a_n b_n$ 收敛。
提示：Dirichlet 判别法要求 $a_n$ 单调趋于 0，这里 $a_n=1/n$ 满足条件。
步骤 4/5
目标：判断是否绝对收敛
考虑绝对值级数 $\sum_{n=1}^\infty \frac{|\sin(nx)|}{n}$。当 $x \neq k\pi$ 时，$|\sin(nx)|$ 不恒为 0，且存在常数 $c>0$ 使得 $|\sin(nx)| \geq \sin^2(nx)$，而 $\sum \frac{\sin^2(nx)}{n}$ 发散（因为 $\sin^2(nx) = \frac{1-\cos(2nx)}{2}$，$\sum \frac{\cos(2nx)}{n}$ 收敛，但 $\sum \frac{1}{2n}$ 发散）。因此绝对值级数发散，原级数条件收敛。
公式：$|\sin(nx)| \geq \sin^2(nx) = \frac{1-\cos(2nx)}{2}$
提示：绝对收敛性的判断常用不等式放缩或比较判别法，注意 $\sum \frac{1}{n}$ 发散。
步骤 5/5
目标：总结结论
综合以上分析：
- 当 $x = k\pi$（$k \in \mathbb{Z}$）时，级数收敛（和为 0）。
- 当 $x \neq k\pi$ 时，级数条件收敛（即收敛但不绝对收敛）。
提示：注意 $x$ 为实数，所有整数倍 $\pi$ 的情况均已覆盖。
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