苏州科技大学 2026年数学分析第7题

积分表达式为 \(\iint_S xyz \, dx\,dy\)，其中 \(dx\,dy\) 表示将曲面投影到 \(xOy\) 平面的有向面积元。曲面 \(S\) 是球面 \(x^2+y^2+z^2=1\) 上满足 \(x\ge 0\) 的部分，包含上半球面 \(z=\sqrt{1-x^2-y^2}\) 和下半球面 \(z=-\sqrt{1-x^2-y^2}\) 在 \(x\ge 0\) 的部分。需要分别考虑上下两侧的投影符号。

曲面 \(S\) 在 \(xOy\) 平面上的投影区域为 \(D = \{ (x,y) \mid x^2+y^2 \le 1,\; x \ge 0 \}\)，即右半单位圆盘。

对于上半球面 \(z = \sqrt{1-x^2-y^2}\)，取上侧（法向量向上），投影面积元符号为正，得 \(I_1 = \iint_D xy\sqrt{1-x^2-y^2}\,dx\,dy\)。对于下半球面 \(z = -\sqrt{1-x^2-y^2}\)，取下侧（法向量向下），投影面积元符号为负，得 \(I_2 = \iint_D xy(-\sqrt{1-x^2-y^2})\cdot(-1)\,dx\,dy = \iint_D xy\sqrt{1-x^2-y^2}\,dx\,dy\)。因此总积分 \(I = I_1 + I_2 = 2\iint_D xy\sqrt{1-x^2-y^2}\,dx\,dy\)。

令 \(x = r\cos\theta,\; y = r\sin\theta\)，则 \(dx\,dy = r\,dr\,d\theta\)，投影区域 \(D\) 对应 \(r \in [0,1],\; \theta \in [-\pi/2, \pi/2]\)。被积函数 \(xy\sqrt{1-x^2-y^2} = r^2\cos\theta\sin\theta\sqrt{1-r^2}\)，乘以面积元 \(r\,dr\,d\theta\) 后得 \(r^3\cos\theta\sin\theta\sqrt{1-r^2}\,dr\,d\theta\)。于是 \(I = 2\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos\theta\sin\theta\,d\theta \cdot \int_0^1 r^3\sqrt{1-r^2}\,dr\)。

角度部分 \(\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos\theta\sin\theta\,d\theta = \frac12\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin 2\theta\,d\theta\)。由于 \(\sin 2\theta\) 是奇函数，在对称区间 \([-\pi/2, \pi/2]\) 上积分为零。因此整个积分 \(I = 0\)。

由于角度部分积分为零，总积分 \(I = 0\)。从对称性角度，被积函数 \(xyz\) 关于 \(y\) 是奇函数，在右半圆区域 \(D\) 上积分也为零，结果合理。