苏州科技大学 2026年数学分析第5题

设圆上任意一点为 $(x,y)$，它到点 $(0,1)$ 的距离平方为 $d^2 = x^2 + (y-1)^2$。圆的方程为 $(x-1)^2 + y^2 = 1$。展开圆方程得 $x^2 - 2x + 1 + y^2 = 1$，即 $x^2 + y^2 = 2x$。将 $d^2$ 展开：$d^2 = x^2 + y^2 - 2y + 1$，代入 $x^2 + y^2 = 2x$ 得 $d^2 = 2x - 2y + 1$。

圆 $(x-1)^2 + y^2 = 1$ 的圆心为 $(1,0)$，半径为 $1$，因此 $x$ 的取值范围是 $[0,2]$。圆上的点满足 $y = \pm \sqrt{1 - (x-1)^2}$。需分别考虑上半圆（$y \ge 0$）和下半圆（$y \le 0$）的情况。

上半圆 $y = \sqrt{1 - (x-1)^2}$，代入得 $d^2 = 2x - 2\sqrt{1 - (x-1)^2} + 1$。令 $t = x-1$，则 $t \in [-1,1]$，$d^2 = 2t - 2\sqrt{1-t^2} + 3$。对 $t$ 求导：$\frac{d(d^2)}{dt} = 2 + \frac{2t}{\sqrt{1-t^2}}$。令导数为零得 $1 + \frac{t}{\sqrt{1-t^2}} = 0$，解得 $t = -\frac{1}{\sqrt{2}}$（负值）。此时 $d^2 = 3 - 2\sqrt{2}$。

计算端点：当 $t = -1$（即 $x=0, y=0$）时，$d^2 = 2(-1) - 2\cdot 0 + 3 = 1$；当 $t = 1$（即 $x=2, y=0$）时，$d^2 = 2\cdot 1 - 2\cdot 0 + 3 = 5$。

下半圆 $y = -\sqrt{1 - (x-1)^2}$，代入得 $d^2 = 2x + 2\sqrt{1 - (x-1)^2} + 1$。令 $t = x-1$，则 $d^2 = 2t + 2\sqrt{1-t^2} + 3$。求导：$\frac{d(d^2)}{dt} = 2 - \frac{2t}{\sqrt{1-t^2}}$。令导数为零得 $1 - \frac{t}{\sqrt{1-t^2}} = 0$，解得 $t = \frac{1}{\sqrt{2}}$（正值）。此时 $d^2 = 3 + 2\sqrt{2}$。

所有候选的 $d^2$ 值为：$1$、$5$、$3 - 2\sqrt{2}$、$3 + 2\sqrt{2}$。比较大小：$3 - 2\sqrt{2} \approx 0.172$ 最小，$3 + 2\sqrt{2} \approx 5.828$ 最大。因此最小距离平方为 $3 - 2\sqrt{2}$，最大距离平方为 $3 + 2\sqrt{2}$。开方得最小距离 $\sqrt{3 - 2\sqrt{2}} = \sqrt{2} - 1$，最大距离 $\sqrt{3 + 2\sqrt{2}} = \sqrt{2} + 1$。