苏州科技大学 2026年数学分析第4题
📝 题目
4、（15 分）证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_{0}} R(x)=0, R(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{q} & \left(x=\frac{p}{q}, p, q \text { 互质 }\right) \\ 0 & x \text { 为无理数，} 0,1\end{array}\right.$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确函数定义与证明目标
函数 $R(x)$ 在 $[0,1]$ 上定义为：当 $x = \frac{p}{q}$（$p,q$ 互质，$q>0$）时，$R(x)=\frac{1}{q}$；当 $x$ 为无理数时，$R(x)=0$。我们要证明对任意 $x_0 \in [0,1]$，有 $\lim_{x \to x_0} R(x)=0$。
公式：$R(x)=\begin{cases} \frac{1}{q}, & x=\frac{p}{q}\text{ 既约} \\ 0, & x\text{ 无理数} \end{cases}$
提示：注意 $p,q$ 互质且 $q>0$，$x$ 在 $[0,1]$ 内。
步骤 2/6
目标：用 ε-δ 语言表述要证明的结论
任取 $\varepsilon > 0$，需要找到 $\delta > 0$，使得当 $0 < |x - x_0| < \delta$ 时，有 $|R(x)| < \varepsilon$。由于 $R(x) \ge 0$，等价于 $R(x) < \varepsilon$。
公式：$\forall \varepsilon>0,\ \exists \delta>0,\ 0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow R(x)<\varepsilon$
提示：极限定义中考虑 $x \neq x_0$，因此 $x_0$ 本身的值不影响极限。
步骤 3/6
目标：分析可能使 $R(x) \ge \varepsilon$ 的点
若 $x$ 为无理数，$R(x)=0<\varepsilon$ 自动成立。若 $x=\frac{p}{q}$ 为既约分数，则 $R(x)=\frac{1}{q} \ge \varepsilon$ 当且仅当 $q \le \frac{1}{\varepsilon}$。因此，只有分母不超过 $\lfloor 1/\varepsilon \rfloor$ 的有理点才可能使 $R(x) \ge \varepsilon$。
公式：$\frac{1}{q} \ge \varepsilon \iff q \le \frac{1}{\varepsilon}$
提示：注意 $q$ 是正整数，$\frac{1}{\varepsilon}$ 可能不是整数。
步骤 4/6
目标：说明这样的有理点只有有限个
设 $N = \lfloor 1/\varepsilon \rfloor$。在 $[0,1]$ 内，分母 $q \le N$ 的既约分数个数有限：对每个 $q=1,2,\dots,N$，分子 $p$ 可取 $0,1,\dots,q$ 中与 $q$ 互质的整数，总个数是有限的。记这些点的集合为 $S$，则 $S$ 为有限集。
公式：$S = \left\{ \frac{p}{q} \in [0,1] \mid q \le \lfloor 1/\varepsilon \rfloor,\ \gcd(p,q)=1 \right\}$
提示：有限集包括端点 $0$ 和 $1$（$0=\frac{0}{1}$，$1=\frac{1}{1}$）。
步骤 5/6
目标：构造 δ 使得去心邻域内无坏点
考虑两种情况：
- 若 $x_0 \notin S$，则取 $\delta = \min\{ |x_0 - s| : s \in S \}$（若 $S$ 为空，取 $\delta=1$）。由于 $S$ 有限，$\delta>0$。当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，$x$ 不可能属于 $S$，故 $R(x)<\varepsilon$。
- 若 $x_0 \in S$，则取 $\delta = \min\{ |x_0 - s| : s \in S,\ s \neq x_0 \}$（若 $S$ 只有 $x_0$ 一个点，则 $\delta$ 可取任意正数，如 $1$）。此时去心邻域内不含其他 $S$ 中的点，故 $R(x)<\varepsilon$。
公式：$\delta = \begin{cases} \min\{ |x_0-s| : s\in S \}, & x_0\notin S \\ \min\{ |x_0-s| : s\in S,\ s\neq x_0 \}, & x_0\in S \end{cases}$
提示：注意 $\delta$ 必须为正数，有限集的最小距离为正。
步骤 6/6
目标：得出结论
对任意 $\varepsilon>0$，我们找到了相应的 $\delta>0$，使得当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，$R(x)<\varepsilon$。由极限定义，$\lim_{x \to x_0} R(x)=0$ 对所有 $x_0 \in [0,1]$ 成立。
公式：$\lim_{x \to x_0} R(x)=0,\quad \forall x_0 \in [0,1]$
提示：该结论表明黎曼函数在 $[0,1]$ 上每一点极限为 $0$，但在有理点不连续（因为函数值非零）。
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