苏州科技大学 2026年数学分析第9题
📝 题目
9、（15 分）判断 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x^{p}} d x(0<p<2)$ 敛散性．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将积分拆分为两段，分别处理奇点和无穷远处的振荡
由于积分区间包含 $x=0$ 和 $x\to +\infty$ 两个可能的发散点，我们将积分拆分为：
$$\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x^{p}} dx = \int_{0}^{1} \frac{\sin x}{x^{p}} dx + \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin x}{x^{p}} dx$$
公式：$$\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x^{p}} dx = \int_{0}^{1} \frac{\sin x}{x^{p}} dx + \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin x}{x^{p}} dx$$
提示：拆分点选为1是常见的做法，因为可以分别利用$x\to 0$和$x\to +\infty$的渐近行为。
步骤 2/4
目标：判断 $\int_0^1 \frac{\sin x}{x^p} dx$ 的收敛性
当 $x \to 0^+$ 时，$\sin x \sim x$，因此被积函数渐近于 $\frac{x}{x^p} = \frac{1}{x^{p-1}}$。积分 $\int_0^1 \frac{1}{x^{p-1}} dx$ 在 $x=0$ 附近收敛当且仅当 $p-1 < 1$，即 $p < 2$。题目给定 $0 < p < 2$，故该段积分收敛。
公式：$$\frac{\sin x}{x^p} \sim \frac{1}{x^{p-1}} \quad (x \to 0^+), \quad \int_0^1 \frac{1}{x^{p-1}} dx \text{ 收敛 } \iff p-1<1 \iff p<2$$
提示：注意比较判别法：当被积函数非负时，与幂函数比较；此处 $\sin x$ 在 $x=0$ 附近为正，可直接比较。
步骤 3/4
目标：判断 $\int_1^{+\infty} \frac{\sin x}{x^p} dx$ 的收敛性
考虑 $\int_1^{+\infty} \frac{\sin x}{x^p} dx$。令 $f(x) = \sin x$，$g(x) = \frac{1}{x^p}$。由于 $\left|\int_1^A \sin x \, dx\right| \le 2$ 对任意 $A>1$ 有界，且 $g(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上单调递减趋于 $0$（因为 $p>0$），由 Dirichlet 判别法，该无穷积分收敛。题目中 $00$，故该段积分收敛。
公式：$$\left|\int_1^A \sin x \, dx\right| \le 2, \quad g(x)=\frac{1}{x^p} \searrow 0 \ (p>0) \quad \Rightarrow \quad \int_1^{+\infty} \frac{\sin x}{x^p} dx \text{ 收敛}$$
提示：Dirichlet 判别法要求 $\int_1^A f(x) dx$ 有界且 $g(x)$ 单调趋于0，这里 $\sin x$ 的积分有界性可由周期性直接得到。
步骤 4/4
目标：综合两段结论，给出最终敛散性判断
由第二步和第三步可知，当 $0
公式：$$\int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x^p} dx \text{ 收敛 } \iff 0 < p < 2$$
提示：注意边界 $p=0$ 和 $p=2$ 时积分发散：$p=0$ 时无穷远处不满足 Dirichlet 条件（$g(x)$ 不趋于0），$p=2$ 时 $x=0$ 附近 $1/x^{p-1}=1/x$ 不可积。
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