苏州科技大学 2026年数学分析第3题
📝 题目
3、（15 分）设 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \in R^{3}$ ，求 $\displaystyle f(x, y, z)=\left[\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}+\left(z-z_{0}\right)^{2}\right]^{-\frac{1}{2}}$ 的偏导数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：引入中间变量简化函数形式
令 $r = \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2}$，则原函数可写为 $f(x,y,z) = r^{-1}$。这里 $r>0$ 保证函数有定义。
公式：$r = \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2}$，$f = r^{-1}$
提示：注意 $r$ 表示点 $(x,y,z)$ 到点 $(x_0,y_0,z_0)$ 的距离，$r>0$ 时函数可导。
步骤 2/5
目标：计算 $r$ 对 $x$ 的偏导数
将 $r$ 视为复合函数：$r = \left[(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2\right]^{1/2}$。对 $x$ 求偏导时，将 $y,z$ 视为常数，利用链式法则：
\[
\frac{\partial r}{\partial x} = \frac{1}{2}\left[(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2\right]^{-1/2} \cdot 2(x-x_0) = \frac{x-x_0}{r}.
\]
公式：$\frac{\partial r}{\partial x} = \frac{x-x_0}{r}$
提示：注意对平方根求导时不要漏掉系数 $\frac{1}{2}$，并正确应用链式法则。
步骤 3/5
目标：利用链式法则求 $f$ 对 $x$ 的偏导数
由 $f = r^{-1}$，先对 $r$ 求导得 $\frac{d}{dr}(r^{-1}) = -r^{-2}$。再乘以 $\frac{\partial r}{\partial x}$：
\[
\frac{\partial f}{\partial x} = -r^{-2} \cdot \frac{x-x_0}{r} = -\frac{x-x_0}{r^3}.
\]
公式：$\frac{\partial f}{\partial x} = -\frac{x-x_0}{r^3}$
提示：注意 $r^{-2} \cdot \frac{1}{r} = r^{-3}$，指数运算要仔细。
步骤 4/5
目标：由对称性得到对其他变量的偏导数
由于函数关于 $x,y,z$ 对称，只需将 $x$ 替换为 $y$ 或 $z$ 即可：
\[
\frac{\partial f}{\partial y} = -\frac{y-y_0}{r^3}, \quad \frac{\partial f}{\partial z} = -\frac{z-z_0}{r^3}.
\]
公式：$\frac{\partial f}{\partial y} = -\frac{y-y_0}{r^3}$，$\frac{\partial f}{\partial z} = -\frac{z-z_0}{r^3}$
提示：利用对称性可以快速写出结果，但需确认变量在表达式中的位置一致。
步骤 5/5
目标：将结果用原始变量表示
将 $r$ 的表达式代回，得到最终偏导数的显式形式：
\[
\frac{\partial f}{\partial x} = -\frac{x-x_0}{\left[(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2\right]^{3/2}},
\]
\[
\frac{\partial f}{\partial y} = -\frac{y-y_0}{\left[(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2\right]^{3/2}},
\]
\[
\frac{\partial f}{\partial z} = -\frac{z-z_0}{\left[(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2\right]^{3/2}}.
\]
公式：$\frac{\partial f}{\partial x_i} = -\frac{x_i - x_{i0}}{\left[\sum_{j=1}^3 (x_j - x_{j0})^2\right]^{3/2}}$，其中 $x_1=x, x_2=y, x_3=z$
提示：最终结果分母是 $r^3$，注意指数为 $3/2$ 而非 $1/2$。
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