苏州科技大学 2026年数学分析第2题
📝 题目
2、（15 分）已知 $\displaystyle f(1)=f(0), f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，证明：$\displaystyle f(\xi)=f\left(\xi+\frac{1}{2}\right)$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解题目条件与结论
已知函数 $f(x)$ 在闭区间 $[0,1]$ 上连续，且满足 $f(0)=f(1)$。需要证明存在 $ξ \in [0, \frac{1}{2}]$，使得 $f(ξ)=f(\xi+\frac{1}{2})$。
公式：f(0)=f(1)
提示：注意区间端点条件，这是构造辅助函数的关键。
步骤 2/6
目标：构造辅助函数
定义辅助函数 $g(x)=f\left(x+\frac{1}{2}\right)-f(x)$，其中 $x \in [0,\frac{1}{2}]$。由于 $f$ 在 $[0,1]$ 上连续，$g$ 在 $[0,\frac{1}{2}]$ 上连续。
公式：g(x)=f\left(x+\frac{1}{2}\right)-f(x)
提示：辅助函数的选择是零点定理应用的关键。
步骤 3/6
目标：计算辅助函数在端点处的值
计算 $g(0)=f\left(\frac{1}{2}\right)-f(0)$，$g\left(\frac{1}{2}\right)=f(1)-f\left(\frac{1}{2}\right)$。
公式：g(0)=f\left(\frac{1}{2}\right)-f(0),\quad g\left(\frac{1}{2}\right)=f(1)-f\left(\frac{1}{2}\right)
提示：注意 $g(\frac{1}{2})$ 中 $x+\frac{1}{2}=1$。
步骤 4/6
目标：利用已知条件建立端点值关系
由 $f(0)=f(1)$，得 $g\left(\frac{1}{2}\right)=f(0)-f\left(\frac{1}{2}\right)=-\left[f\left(\frac{1}{2}\right)-f(0)\right]=-g(0)$。因此 $g(0)$ 与 $g\left(\frac{1}{2}\right)$ 互为相反数。
公式：g\left(\frac{1}{2}\right) = -g(0)
提示：互为相反数意味着要么同为零，要么异号。
步骤 5/6
目标：分情况讨论并应用零点定理
情况1：若 $g(0)=0$，则取 $ξ=0$，有 $f(0)=f\left(\frac{1}{2}\right)$，结论成立。
情况2：若 $g(0)\neq 0$，则 $g(0)$ 与 $g\left(\frac{1}{2}\right)$ 异号。由连续函数的零点定理（介值定理），存在 $ξ \in (0,\frac{1}{2})$ 使得 $g(ξ)=0$，即 $f\left(\xi+\frac{1}{2}\right)=f(ξ)$。
公式：g(\xi)=0 \Rightarrow f\left(\xi+\frac{1}{2}\right)=f(\xi)
提示：零点定理要求函数在区间端点处函数值异号。
步骤 6/6
目标：总结结论
综合两种情况，存在 $ξ \in [0,\frac{1}{2}]$ 使得 $f(ξ)=f\left(\xi+\frac{1}{2}\right)$，证毕。
提示：注意 $ξ$ 的取值范围包括端点。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。