苏州科技大学 2026年数学分析第1题
📝 题目
1、（15 分）求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1^{-}}\left(1-x^{2}\right)^{\frac{1}{\ln (1-x)}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析极限形式
当 $x \to 1^{-}$ 时，$1-x^2 = (1-x)(1+x)$，其中 $1+x \to 2$，$1-x \to 0^+$，所以底数趋于 $0$。指数部分 $\frac{1}{\ln(1-x)}$ 中，$\ln(1-x) \to -\infty$，因此指数趋于 $0$。这是典型的 $0^0$ 型不定式。
公式：$\lim_{x \to 1^{-}} (1-x^2)^{\frac{1}{\ln(1-x)}}$
提示：注意 $x \to 1^{-}$ 表示从左侧趋近，$1-x>0$，$\ln(1-x)$ 为负无穷。
步骤 2/5
目标：取自然对数转化极限
设 $y = (1-x^2)^{\frac{1}{\ln(1-x)}}$，两边取自然对数得：$\ln y = \frac{1}{\ln(1-x)} \cdot \ln(1-x^2)$。
公式：$\ln y = \frac{\ln(1-x^2)}{\ln(1-x)}$
提示：取对数后转化为 $\frac{\infty}{\infty}$ 或 $\frac{0}{0}$ 型，便于化简。
步骤 3/5
目标：化简对数表达式
利用 $1-x^2 = (1-x)(1+x)$，得 $\ln(1-x^2) = \ln(1-x) + \ln(1+x)$。代入得：$\ln y = \frac{\ln(1-x) + \ln(1+x)}{\ln(1-x)} = 1 + \frac{\ln(1+x)}{\ln(1-x)}$。
公式：$\ln y = 1 + \frac{\ln(1+x)}{\ln(1-x)}$
提示：注意 $\ln(ab)=\ln a + \ln b$，且 $1+x>0$ 在 $x\to 1^{-}$ 时成立。
步骤 4/5
目标：求 $\ln y$ 的极限
当 $x \to 1^{-}$ 时，$\ln(1+x) \to \ln 2$，$\ln(1-x) \to -\infty$，因此 $\frac{\ln(1+x)}{\ln(1-x)} \to 0$。所以 $\lim_{x \to 1^{-}} \ln y = 1 + 0 = 1$。
公式：$\lim_{x \to 1^{-}} \frac{\ln(1+x)}{\ln(1-x)} = 0$
提示：分子趋于常数，分母趋于负无穷，分式趋于0，不要误用洛必达法则。
步骤 5/5
目标：还原原极限并得出答案
由 $\lim_{x \to 1^{-}} \ln y = 1$，根据对数函数的连续性，得 $\lim_{x \to 1^{-}} y = e^1 = e$。
公式：$\lim_{x \to 1^{-}} (1-x^2)^{\frac{1}{\ln(1-x)}} = e$
提示：取对数后极限存在且为1，则原极限为 $e^1$，注意指数运算的还原。
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