苏州科技大学 2026年数学分析第6题

题目要求计算第二类曲线积分： \[ I = \oint_C \frac{y}{x^2+y^2} \, dx - \frac{x}{x^2+y^2} \, dy \] 其中曲线 \(C\) 为圆周 \(x^2+y^2=a\)（\(a>0\)），通常取逆时针方向。

计算偏导数： \[ \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\left(-\frac{x}{x^2+y^2}\right) = \frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2} \] \[ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{y}{x^2+y^2}\right) = \frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2} \] 因此 \(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 0\)。 但格林公式要求被积函数在闭区域内部有一阶连续偏导，而原点 \((0,0)\) 是被积函数的奇点，且圆周包含原点，故不能直接使用格林公式。

取小圆周 \(C_\varepsilon: x^2+y^2 = \varepsilon^2\)（\(\varepsilon\) 充分小），方向取顺时针。在大圆 \(C\)（逆时针）和小圆 \(C_\varepsilon\)（顺时针）之间的环形区域 \(D\) 上，格林公式成立： \[ \oint_C P\,dx+Q\,dy + \oint_{C_\varepsilon(\text{顺时针})} P\,dx+Q\,dy = \iint_D 0 \, dA = 0 \] 因此： \[ \oint_C P\,dx+Q\,dy = -\oint_{C_\varepsilon(\text{顺时针})} P\,dx+Q\,dy = \oint_{C_\varepsilon(\text{逆时针})} P\,dx+Q\,dy \] 即沿任何绕原点的简单闭曲线，积分值相同。

在小圆 \(C_\varepsilon\) 上取参数方程： \[ x = \varepsilon\cos\theta, \quad y = \varepsilon\sin\theta, \quad \theta: 0 \to 2\pi \] 则 \(dx = -\varepsilon\sin\theta\,d\theta\)，\(dy = \varepsilon\cos\theta\,d\theta\)，分母 \(x^2+y^2 = \varepsilon^2\)。 被积表达式化为： \[ \frac{y}{x^2+y^2}dx = \frac{\varepsilon\sin\theta}{\varepsilon^2}(-\varepsilon\sin\theta\,d\theta) = -\sin^2\theta\,d\theta \] \[ -\frac{x}{x^2+y^2}dy = -\frac{\varepsilon\cos\theta}{\varepsilon^2}(\varepsilon\cos\theta\,d\theta) = -\cos^2\theta\,d\theta \] 两项相加得 \(-(\sin^2\theta+\cos^2\theta)\,d\theta = -d\theta\)。 沿逆时针方向积分： \[ \oint_{C_\varepsilon} = \int_0^{2\pi} (-1)\,d\theta = -2\pi \]

由第三步结论，原积分等于小圆逆时针积分： \[ I = \oint_C = \oint_{C_\varepsilon(\text{逆时针})} = -2\pi \] 若题目中曲线方向为顺时针，则结果为 \(2\pi\)。默认逆时针方向下，答案为 \(-2\pi\)。