西北大学 2025年数学分析第1题
📝 题目
1、求极限．
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos \left(\frac{\pi}{2} \cos x\right)}{\sin (\sin x)}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} x^{n} \sqrt{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析极限类型并化简分子
当 $x \to 0$ 时，$\cos x \to 1$，因此 $\frac{\pi}{2} \cos x \to \frac{\pi}{2}$，分子 $\cos\left(\frac{\pi}{2} \cos x\right) \to 0$；分母 $\sin(\sin x) \to 0$，故为 $\frac{0}{0}$ 型未定式。利用三角恒等式 $\cos u = \sin\left(\frac{\pi}{2} - u\right)$，将分子改写为：
$$
\cos\left(\frac{\pi}{2} \cos x\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} \cos x\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}(1 - \cos x)\right).
$$
公式：$\cos u = \sin\left(\frac{\pi}{2} - u\right)$
提示：注意 $\cos(\pi/2)=0$，但分子是复合函数，需先化简再使用等价无穷小。
步骤 2/5
目标：对分子和分母应用等价无穷小替换
当 $x \to 0$ 时，$1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$，所以 $\frac{\pi}{2}(1 - \cos x) \sim \frac{\pi x^2}{4}$。从而分子等价于 $\sin\left(\frac{\pi x^2}{4}\right) \sim \frac{\pi x^2}{4}$。分母中，$\sin x \to 0$，故 $\sin(\sin x) \sim \sin x \sim x$。
公式：$1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$，$\sin t \sim t$（$t \to 0$）
提示：等价无穷小替换时需确保替换后的表达式极限存在且不为零，此处分子分母均为无穷小，可直接替换。
步骤 3/5
目标：计算化简后的极限
将等价无穷小代入原极限：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\frac{\pi x^2}{4}}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\pi x}{4} = 0.
$$
公式：$\lim_{x \to 0} \frac{\pi x}{4} = 0$
提示：注意分子是 $x^2$ 阶，分母是 $x$ 阶，故极限为 $0$。
步骤 4/5
目标：分析第二题积分极限的直观行为
对于 $x \in [0,1)$，当 $n \to \infty$ 时，$x^n \to 0$；在 $x=1$ 处，$x^n = 1$，但单点不影响积分值。因此积分值应趋于 $0$。
公式：无
提示：注意积分区间端点 $x=1$ 处函数值不为 $0$，但测度为 $0$，不影响极限。
步骤 5/5
目标：用夹逼定理严格证明极限为0
在 $[0,1]$ 上，$\sqrt{1+x^2} \le \sqrt{2}$，因此
$$
0 \le \int_0^1 x^n \sqrt{1+x^2} \, dx \le \sqrt{2} \int_0^1 x^n \, dx = \frac{\sqrt{2}}{n+1}.
$$
当 $n \to \infty$ 时，$\frac{\sqrt{2}}{n+1} \to 0$，由夹逼定理得极限为 $0$。
公式：$\int_0^1 x^n \, dx = \frac{1}{n+1}$
提示：夹逼定理要求不等式两边极限相等，此处上界趋于 $0$，下界为 $0$，故极限为 $0$。
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