📝 西北大学 2025年数学分析真题
第1题
1、求极限．
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos \left(\frac{\pi}{2} \cos x\right)}{\sin (\sin x)}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} x^{n} \sqrt{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos \left(\frac{\pi}{2} \cos x\right)}{\sin (\sin x)}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} x^{n} \sqrt{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
第2题
2、已知数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle x_{1}=2, x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_{n}+\frac{1}{x_{n}}\right), n=1,2, \cdots$ ．
（1）证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在并求其值．
（2）证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{x_{n}}{x_{n+1}}-1\right)$ 收敛。
（1）证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在并求其值．
（2）证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{x_{n}}{x_{n+1}}-1\right)$ 收敛。
第3题
3、已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可导，即 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上存在，而且
$$
f(1)=\frac{1}{\alpha} \int_{0}^{\alpha} x e^{1-x} f(x) \mathrm{d} x \text {, 其中 } \alpha \in(0,1) \text {. }
$$
求证：$\displaystyle \exists \xi \in(0,1)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=\left(1-\frac{1}{\xi}\right) f(\xi)$ ．
$$
f(1)=\frac{1}{\alpha} \int_{0}^{\alpha} x e^{1-x} f(x) \mathrm{d} x \text {, 其中 } \alpha \in(0,1) \text {. }
$$
求证：$\displaystyle \exists \xi \in(0,1)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=\left(1-\frac{1}{\xi}\right) f(\xi)$ ．
第4题
4、已知 $\displaystyle a>0$ ，证明：曲面 $\displaystyle \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=\sqrt{a}$ 上任一点的切平面在各坐标面上的截距之和均为 $a$ ．
第5题
5、已知 $n$ 为正整数，$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin (n x)}{n+1}$ ．
（1）证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,2 \pi)$ 上连续．
（2）求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{x^{n}}{n}$ 的和函数．
（3）证明： $\displaystyle \int_{0}^{\pi} f(x) \mathrm{d} x=2 \ln 2$ ．
（1）证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,2 \pi)$ 上连续．
（2）求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{x^{n}}{n}$ 的和函数．
（3）证明： $\displaystyle \int_{0}^{\pi} f(x) \mathrm{d} x=2 \ln 2$ ．
第6题
6、计算三重积分 $\displaystyle I=\iiint_{\Omega}(x+z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 为锥面 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 与上半球面 $\displaystyle z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}$ 围成的区域．
第7题
7、求第一型曲线积分 $\displaystyle \int_{L}\left(x^{2}+2 y^{2}+3 z\right) \mathrm{d} s$ ，其中 $L$ 是
$\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2},(R>0)$ 和 $\displaystyle x+y+z=0$ 的交线．
$\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2},(R>0)$ 和 $\displaystyle x+y+z=0$ 的交线．
第8题
8、计算第二类曲面积分 $\displaystyle I=\iint_{\Sigma} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\left(z^{3}+1\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y}{\left(2 x^{2}+3 y^{2}+z^{2}\right)^{3}}$ ，其中 $\displaystyle \Sigma$为 $\displaystyle z=\sqrt{1-2 x^{2}-3 y^{2}}$ 的上侧．
第9题
9、设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，令 $\displaystyle F(t)=\int_{0}^{1} \frac{t}{x^{2}+t^{2}} f(x) \mathrm{d} x$ ．证明：$\displaystyle F(t)$ 在 $\displaystyle t=0$ 处连续充分必要条件是 $\displaystyle f(0)=0$ ．