西北大学 2025年数学分析第3题
📝 题目
3、已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可导，即 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上存在，而且
$$
f(1)=\frac{1}{\alpha} \int_{0}^{\alpha} x e^{1-x} f(x) \mathrm{d} x \text {, 其中 } \alpha \in(0,1) \text {. }
$$
求证：$\displaystyle \exists \xi \in(0,1)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=\left(1-\frac{1}{\xi}\right) f(\xi)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析待证等式，构造辅助函数
待证等式为 $f'(\xi) = \left(1 - \frac{1}{\xi}\right) f(\xi)$，移项得 $\xi f'(\xi) - (1-\xi)f(\xi) = 0$。考虑构造辅助函数 $F(x) = x e^{1-x} f(x)$，则 $F'(x) = e^{1-x}[x f'(x) + (1-x)f(x)]$。令 $F'(\xi)=0$ 即得所需等式。
公式：$F(x) = x e^{1-x} f(x)$
提示：构造辅助函数时，注意观察目标等式的导数结构，通常选择使导数分子恰好为目标表达式的函数。
步骤 2/4
目标：利用已知积分条件，寻找两点函数值相等
已知 $f(1) = \frac{1}{\alpha} \int_0^\alpha x e^{1-x} f(x) \, dx$。注意到 $F(1) = 1 \cdot e^{0} f(1) = f(1)$，且 $F(x) = x e^{1-x} f(x)$，故条件化为 $F(1) = \frac{1}{\alpha} \int_0^\alpha F(x) \, dx$。由积分中值定理，存在 $c \in (0, \alpha)$ 使得 $\frac{1}{\alpha} \int_0^\alpha F(x) \, dx = F(c)$，因此 $F(1) = F(c)$，且 $0 < c < \alpha < 1$。
公式：$F(1) = \frac{1}{\alpha} \int_0^\alpha F(x) \, dx = F(c)$
提示：积分中值定理要求被积函数连续，这里 $F(x)$ 由可导函数 $f(x)$ 与多项式、指数函数复合而成，在 $[0,1]$ 上连续，满足条件。
步骤 3/4
目标：应用罗尔定理
函数 $F(x)$ 在 $[c, 1]$ 上连续，在 $(c, 1)$ 内可导，且 $F(c) = F(1)$，由罗尔定理，存在 $\xi \in (c, 1) \subset (0, 1)$，使得 $F'(\xi) = 0$。
公式：$\exists \xi \in (c,1) \subset (0,1), \; F'(\xi)=0$
提示：注意 $c>0$，因此 $\xi$ 严格在 $(0,1)$ 内，避免端点情况。
步骤 4/4
目标：计算导数并导出结论
计算 $F'(x)$：$F'(x) = e^{1-x} f(x) + x(-e^{1-x}) f(x) + x e^{1-x} f'(x) = e^{1-x}[x f'(x) + (1-x)f(x)]$。令 $F'(\xi)=0$，由于 $e^{1-\xi} > 0$，得 $\xi f'(\xi) + (1-\xi)f(\xi) = 0$，即 $\xi f'(\xi) = -(1-\xi)f(\xi)$，整理得 $f'(\xi) = \left(1 - \frac{1}{\xi}\right) f(\xi)$。
公式：$f'(\xi) = \left(1 - \frac{1}{\xi}\right) f(\xi)$
提示：求导时注意乘积法则和指数函数的导数符号，避免符号错误。
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