西北大学 2025年数学分析第4题
📝 题目
4、已知 $\displaystyle a>0$ ，证明：曲面 $\displaystyle \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=\sqrt{a}$ 上任一点的切平面在各坐标面上的截距之和均为 $a$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：写出曲面方程并标准化为隐函数形式
已知曲面方程为 $\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z} = \sqrt{a}$，其中 $a>0$ 且 $x,y,z>0$。将其改写为隐函数形式：$F(x,y,z) = \sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z} - \sqrt{a} = 0$。
公式：$F(x,y,z) = \sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z} - \sqrt{a} = 0$
提示：注意根号下变量必须非负，且曲面定义域为 $x>0, y>0, z>0$。
步骤 2/5
目标：求曲面上任一点的法向量（梯度）
对 $F$ 分别求偏导：$F_x = \frac{1}{2\sqrt{x}}$，$F_y = \frac{1}{2\sqrt{y}}$，$F_z = \frac{1}{2\sqrt{z}}$。因此在点 $(x_0,y_0,z_0)$ 处的法向量为 $\left( \frac{1}{2\sqrt{x_0}}, \frac{1}{2\sqrt{y_0}}, \frac{1}{2\sqrt{z_0}} \right)$，可忽略常数因子 $\frac12$，取方向为 $\left( \frac{1}{\sqrt{x_0}}, \frac{1}{\sqrt{y_0}}, \frac{1}{\sqrt{z_0}} \right)$。
公式：$\nabla F(x_0,y_0,z_0) = \left( \frac{1}{2\sqrt{x_0}}, \frac{1}{2\sqrt{y_0}}, \frac{1}{2\sqrt{z_0}} \right)$
提示：法向量方向可缩放，不影响切平面方程。
步骤 3/5
目标：写出切平面方程并化简
切平面过点 $(x_0,y_0,z_0)$，法向量为 $\left( \frac{1}{\sqrt{x_0}}, \frac{1}{\sqrt{y_0}}, \frac{1}{\sqrt{z_0}} \right)$，方程为：$\frac{1}{\sqrt{x_0}}(x - x_0) + \frac{1}{\sqrt{y_0}}(y - y_0) + \frac{1}{\sqrt{z_0}}(z - z_0) = 0$。整理得：$\frac{x}{\sqrt{x_0}} + \frac{y}{\sqrt{y_0}} + \frac{z}{\sqrt{z_0}} = \frac{x_0}{\sqrt{x_0}} + \frac{y_0}{\sqrt{y_0}} + \frac{z_0}{\sqrt{z_0}}$。由于 $\frac{x_0}{\sqrt{x_0}} = \sqrt{x_0}$，且点在曲面上满足 $\sqrt{x_0} + \sqrt{y_0} + \sqrt{z_0} = \sqrt{a}$，故切平面方程化为：$\frac{x}{\sqrt{x_0}} + \frac{y}{\sqrt{y_0}} + \frac{z}{\sqrt{z_0}} = \sqrt{a}$。
公式：$\frac{x}{\sqrt{x_0}} + \frac{y}{\sqrt{y_0}} + \frac{z}{\sqrt{z_0}} = \sqrt{a}$
提示：化简时注意利用曲面方程消去常数项。
步骤 4/5
目标：求切平面在各坐标轴上的截距
在 $x$ 轴上，令 $y=0, z=0$，得 $\frac{x}{\sqrt{x_0}} = \sqrt{a}$，所以 $x = \sqrt{a}\sqrt{x_0}$。同理，在 $y$ 轴上截距为 $y = \sqrt{a}\sqrt{y_0}$，在 $z$ 轴上截距为 $z = \sqrt{a}\sqrt{z_0}$。
公式：$x_{\text{截}} = \sqrt{a}\sqrt{x_0},\quad y_{\text{截}} = \sqrt{a}\sqrt{y_0},\quad z_{\text{截}} = \sqrt{a}\sqrt{z_0}$
提示：截距是坐标轴上的坐标值，注意不要遗漏根号。
步骤 5/5
目标：计算截距之和并证明结论
三个截距之和为：$\sqrt{a}\sqrt{x_0} + \sqrt{a}\sqrt{y_0} + \sqrt{a}\sqrt{z_0} = \sqrt{a}(\sqrt{x_0} + \sqrt{y_0} + \sqrt{z_0})$。由曲面方程 $\sqrt{x_0} + \sqrt{y_0} + \sqrt{z_0} = \sqrt{a}$，代入得：$\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a$。因此，曲面上任意一点处的切平面在各坐标轴上的截距之和恒为常数 $a$。
公式：$\sqrt{a}(\sqrt{x_0} + \sqrt{y_0} + \sqrt{z_0}) = \sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a$
提示：注意截距之和与点的选取无关，只与常数 $a$ 有关。
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