西北大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
一．（15 分）解答如下问题：
（1）用极限的定义证明：当 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ 时，有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n}=0$ ．
（2）若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n}=0$ ，是否有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ ？为什么？
（3）求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\frac{1}{n!}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：证明当lim a_n=0时，lim (a_1+...+a_n)/n=0
已知$\lim_{n\to\infty} a_n = 0$，对任意$\varepsilon > 0$，存在$N_1$，当$n > N_1$时，有$|a_n| < \frac{\varepsilon}{2}$。令$S = a_1 + a_2 + \cdots + a_{N_1}$，则对$n > N_1$，有
\[
\left|\frac{a_1+\cdots+a_n}{n}\right| \le \frac{|S|}{n} + \frac{|a_{N_1+1}|+\cdots+|a_n|}{n}.
\]
右边第二项中，每一项绝对值小于$\frac{\varepsilon}{2}$，且项数不超过$n$，故
\[
\frac{|a_{N_1+1}|+\cdots+|a_n|}{n} < \frac{(n-N_1)\cdot\frac{\varepsilon}{2}}{n} < \frac{\varepsilon}{2}.
\]
取$N_2$使得当$n > N_2$时$\frac{|S|}{n} < \frac{\varepsilon}{2}$，令$N = \max(N_1, N_2)$，则当$n > N$时，
\[
\left|\frac{a_1+\cdots+a_n}{n}\right| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.
\]
由极限定义得证。
公式：\left|\frac{a_1+\cdots+a_n}{n}\right| \le \frac{|S|}{n} + \frac{\sum_{k=N_1+1}^n |a_k|}{n}
提示：注意将前N_1项固定处理，利用常数项趋于0的性质；第二项放缩时注意项数小于n，确保不等式成立。
步骤 2/3
目标：判断逆命题是否成立并给出反例
逆命题不成立。反例：取$a_n = (-1)^n$，则
\[
\frac{a_1+\cdots+a_n}{n} = \frac{(-1)+1+(-1)+\cdots}{n},
\]
其绝对值不超过$\frac{1}{n}$，故$\lim_{n\to\infty} \frac{a_1+\cdots+a_n}{n}=0$。但$\lim_{n\to\infty} a_n$不存在（在1和-1之间振荡），因此$\lim a_n = 0$不一定成立。
公式：\left|\frac{a_1+\cdots+a_n}{n}\right| \le \frac{1}{n} \to 0
提示：反例需满足部分和平均趋于0但通项不趋于0，常见振荡序列如(-1)^n或周期序列。
步骤 3/3
目标：求极限lim_{n→∞} √[n]{1/n!}
原式可写为$\sqrt[n]{\frac{1}{n!}} = \frac{1}{\sqrt[n]{n!}}$。利用斯特林公式$n! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n$，则
\[
\sqrt[n]{n!} \sim \frac{n}{e} \cdot (2\pi n)^{1/(2n)} \to \frac{n}{e} \quad (n\to\infty),
\]
因此$\frac{1}{\sqrt[n]{n!}} \sim \frac{e}{n} \to 0$。或取对数：
\[
\ln\left(\sqrt[n]{\frac{1}{n!}}\right) = -\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \ln k,
\]
由积分比较$\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \ln k \to \infty$，故对数趋于$-\infty$，原式趋于0。
公式：\sqrt[n]{n!} \sim \frac{n}{e} \quad \text{或} \quad \ln\left(\sqrt[n]{\frac{1}{n!}}\right) = -\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \ln k
提示：可直接用常见结论lim_{n→∞} √[n]{n!}/n = 1/e，或通过取对数转化为级数求和。注意n!增长极快，其n次根趋于无穷，倒数趋于0。
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