📝 西北大学 2026年数学分析真题
第0题
一．（15 分）解答如下问题：
（1）用极限的定义证明：当 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ 时，有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n}=0$ ．
（2）若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n}=0$ ，是否有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ ？为什么？
（3）求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\frac{1}{n!}}$ ．
（1）用极限的定义证明：当 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ 时，有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n}=0$ ．
（2）若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n}=0$ ，是否有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ ？为什么？
（3）求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\frac{1}{n!}}$ ．
第0题
七．（15 分）叙述并证明康托尔（Cantor）定理．
第0题
三．（15 分）解答如下问题：
（1）证明：若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n+1}-a_{n}\right)=a$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{n}=a$ ．
（2）已知 $\displaystyle 0<x_{1}<1, x_{n+1}=x_{n}\left(1-x_{n}\right)$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n x_{n}=1$ ．
（1）证明：若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n+1}-a_{n}\right)=a$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{n}=a$ ．
（2）已知 $\displaystyle 0<x_{1}<1, x_{n+1}=x_{n}\left(1-x_{n}\right)$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n x_{n}=1$ ．
第0题
九．（15 分）已知黎曼函数
$$
R(x)= \begin{cases}\frac{1}{q}, & x=\frac{p}{q}, \text { 其中 } p, q \text { 为正整数, 且 }(p, q)=1 ; \\ 0, & x \text { 为无理数 } ; \\ 1, & x=0,1 .(\text { 可能有误, 黎曼函数在端点处取值应为 } 0)\end{cases}
$$
讨论并说明 $\displaystyle R(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上的可积性与连续性．
$$
R(x)= \begin{cases}\frac{1}{q}, & x=\frac{p}{q}, \text { 其中 } p, q \text { 为正整数, 且 }(p, q)=1 ; \\ 0, & x \text { 为无理数 } ; \\ 1, & x=0,1 .(\text { 可能有误, 黎曼函数在端点处取值应为 } 0)\end{cases}
$$
讨论并说明 $\displaystyle R(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上的可积性与连续性．
第0题
二．（15 分）已知 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 的某邻域连续，且 $\displaystyle F(t)=\iint_{x^{2}+y^{2} \leq t^{2}} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，求 $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0} \frac{F^{\prime}(t)}{e^{3 t}-1}$ ．
第0题
五．（15 分）求 $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{(-1)^{k}}{2 n+1}+\frac{1}{k(k+1)}\right)$ ．
第0题
八．（15 分）设 $\displaystyle f(x, y)=|x-y| \varphi(x, y)$ ，其中 $\displaystyle \varphi(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 的某邻域内有定义，且在 $\displaystyle (0,0)$ 处连续．证明： $\displaystyle \varphi(0,0)=0$ 的充分必要条件是 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 处可微．
第0题
六．（15分）求第二型曲面积分
$$
\begin{gathered}
\iint_{S}(y+z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(x^{2}+z^{2}\right) y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+(x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y . \\
\left(\text { 另一个版本为 } \iint_{S} y z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\left(x^{2}+z^{2}\right) y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y\right)
\end{gathered}
$$
其中 $\displaystyle S: 4-y=x^{2}+z^{2}(y \geq 0)$ 的右侧．
$$
\begin{gathered}
\iint_{S}(y+z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(x^{2}+z^{2}\right) y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+(x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y . \\
\left(\text { 另一个版本为 } \iint_{S} y z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\left(x^{2}+z^{2}\right) y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y\right)
\end{gathered}
$$
其中 $\displaystyle S: 4-y=x^{2}+z^{2}(y \geq 0)$ 的右侧．
第0题
十．（15 分）已知 $\displaystyle g(0)=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ ，求 $\displaystyle g(\alpha)=\int_{0}^{+\infty} e^{-x^{2}} \cos 2 \alpha x \mathrm{~d} x$ ．
第0题
四．（15 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 的某邻域存在连续的一阶导数，且 $\displaystyle f^{\prime}(0)=0, f^{\prime \prime}(0)$ 存在，求极限
$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(\ln (1+x))}{x^{3}}
$$
$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(\ln (1+x))}{x^{3}}
$$