西北大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
六．（15分）求第二型曲面积分
$$
\begin{gathered}
\iint_{S}(y+z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(x^{2}+z^{2}\right) y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+(x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y . \\
\left(\text { 另一个版本为 } \iint_{S} y z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\left(x^{2}+z^{2}\right) y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y\right)
\end{gathered}
$$
其中 $\displaystyle S: 4-y=x^{2}+z^{2}(y \geq 0)$ 的右侧．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确曲面方程与定向
曲面方程为 $4 - y = x^2 + z^2$，即 $y = 4 - (x^2 + z^2)$，且 $y \geq 0$。这是一个开口沿 $y$ 轴负方向的旋转抛物面，顶点在 $(0,4,0)$，与 $y=0$ 平面交于圆 $x^2+z^2=4$。题目要求“右侧”，即法向量指向 $y$ 轴正向一侧。令 $F(x,y,z)=x^2+z^2+y-4=0$，梯度 $\nabla F = (2x,1,2z)$ 的 $y$ 分量为正，故取此方向为正向。
公式：曲面方程：$y = 4 - (x^2+z^2)$，$x^2+z^2 \leq 4$
提示：注意“右侧”对应法向量 $y$ 分量大于0，与梯度方向一致。
步骤 2/6
目标：应用高斯公式，补底面构造封闭曲面
原积分 $I = \iint_S (y+z)\,dy\,dz + (x^2+z^2)y\,dz\,dx + (x+y)\,dx\,dy$ 对应向量场 $\mathbf{F} = (P,Q,R)$，其中 $P = y+z$，$Q = (x^2+z^2)y$，$R = x+y$。由于 $S$ 不封闭，补上底面 $S_0: y=0, x^2+z^2 \leq 4$，取下侧（使封闭曲面外侧一致）。封闭曲面 $S \cup S_0$ 围成区域 $V$。
公式：高斯公式：$\iint_{\partial V} P\,dy\,dz+Q\,dz\,dx+R\,dx\,dy = \iiint_V \left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right) dV$
提示：补底面时注意定向：抛物面右侧为外侧，底面应取下侧（法向量向下）才能构成封闭外侧。
步骤 3/6
目标：计算散度
计算散度：$\frac{\partial P}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(y+z)=0$，$\frac{\partial Q}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}[(x^2+z^2)y] = x^2+z^2$，$\frac{\partial R}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}(x+y)=0$。因此 $\nabla \cdot \mathbf{F} = x^2+z^2$。
公式：$\nabla \cdot \mathbf{F} = x^2+z^2$
提示：散度计算要仔细，$Q$ 对 $y$ 求导时 $x^2+z^2$ 视为常数。
步骤 4/6
目标：计算封闭曲面上的积分（三重积分）
区域 $V: 0 \leq y \leq 4-(x^2+z^2), x^2+z^2 \leq 4$。用柱坐标：$x = r\cos\theta, z = r\sin\theta$，则 $x^2+z^2 = r^2$，$dV = r\,dr\,d\theta\,dy$。积分：$\iiint_V (x^2+z^2)\,dV = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^2 r^2 \cdot r\,dr \int_0^{4-r^2} dy = 2\pi \int_0^2 r^3(4-r^2)\,dr$。计算 $\int_0^2 (4r^3 - r^5)\,dr = \left[ r^4 - \frac{r^6}{6} \right]_0^2 = 16 - \frac{64}{6} = \frac{16}{3}$，乘以 $2\pi$ 得 $\frac{32\pi}{3}$。
公式：$\iiint_V r^2\,dV = 2\pi \int_0^2 r^3(4-r^2)\,dr = \frac{32\pi}{3}$
提示：柱坐标变换时不要漏掉雅可比行列式 $r$；先对 $y$ 积分再对 $r$ 积分。
步骤 5/6
目标：计算底面的积分并相减
底面 $S_0: y=0$，取下侧，法向量为 $(0,-1,0)$。只有 $dx\,dy$ 项有贡献：$\iint_{S_0} (x+y)\,dx\,dy = \iint_{y=0,\,下侧} x\,dx\,dy = -\iint_{x^2+z^2 \leq 4} x\,dx\,dz$。由于被积函数 $x$ 在对称区域上积分为0，故此项为0。另外两项中 $dy\,dz$ 和 $dz\,dx$ 对应法向 $x,z$ 分量为0，且 $y=0$ 使 $Q$ 项也为0，因此底面贡献为0。
公式：$\iint_{S_0} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = 0$
提示：底面定向向下时，$dx\,dy$ 与 $dx\,dz$ 的关系要小心：$dx\,dy = -dx\,dz$（因为法向 $z$ 分量为负）。
步骤 6/6
目标：得到原曲面积分结果
由 $\iint_{S \cup S_0} = \iint_S + \iint_{S_0}$，且 $\iint_{S_0}=0$，故 $\iint_S = \frac{32\pi}{3}$。
公式：$\iint_S = \frac{32\pi}{3}$
提示：最终结果需验证符号：底面贡献为0，故直接等于封闭曲面上的积分。
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