西北大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
八．（15 分）设 $\displaystyle f(x, y)=|x-y| \varphi(x, y)$ ，其中 $\displaystyle \varphi(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 的某邻域内有定义，且在 $\displaystyle (0,0)$ 处连续．证明： $\displaystyle \varphi(0,0)=0$ 的充分必要条件是 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 处可微．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：明确已知条件和待证结论
已知 $f(x,y)=|x-y|\varphi(x,y)$，其中 $\varphi(x,y)$ 在 $(0,0)$ 的某邻域内有定义且在 $(0,0)$ 处连续。需要证明 $\varphi(0,0)=0$ 是 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处可微的充分必要条件。
公式：f(x,y)=|x-y|\varphi(x,y)
提示：注意 $\varphi$ 的连续性条件，这是后续极限运算的基础。
步骤 2/4
目标：充分性：由 $\varphi(0,0)=0$ 证明 $f$ 在原点可微
由于 $\varphi$ 在原点连续且 $\varphi(0,0)=0$，有 $\lim_{(x,y)\to(0,0)}\varphi(x,y)=0$。计算 $f(0,0)=0$。尝试取 $A=0,B=0$，则 $\frac{|f(x,y)-0-0|}{\sqrt{x^2+y^2}} = \frac{|x-y|\cdot|\varphi(x,y)|}{\sqrt{x^2+y^2}}$。利用不等式 $|x-y|\le |x|+|y|\le \sqrt{2}\sqrt{x^2+y^2}$，得 $\frac{|x-y|}{\sqrt{x^2+y^2}}\le \sqrt{2}$，因此 $\frac{|f(x,y)|}{\sqrt{x^2+y^2}} \le \sqrt{2}|\varphi(x,y)|\to 0$。故 $f(x,y)=0+o(\sqrt{x^2+y^2})$，即 $f$ 在原点可微且全微分为 $0$。
公式：\frac{|f(x,y)|}{\sqrt{x^2+y^2}} \le \sqrt{2}|\varphi(x,y)|\to 0
提示：关键是用 $|x-y|\le \sqrt{2}\sqrt{x^2+y^2}$ 控制比值，并利用 $\varphi$ 趋于 $0$。
步骤 3/4
目标：必要性：由 $f$ 在原点可微证明 $\varphi(0,0)=0$
假设 $f$ 在 $(0,0)$ 可微，则存在常数 $a,b$ 使得 $f(x,y)=ax+by+o(\sqrt{x^2+y^2})$。考虑路径 $y=x$，此时 $f(x,x)=0$，代入得 $0=ax+bx+o(|x|)$，即 $(a+b)x+o(|x|)=0$，推出 $a+b=0$。再考虑路径 $y=0$，则 $f(x,0)=|x|\varphi(x,0)=ax+o(|x|)$。当 $x>0$ 时，$|x|=x$，有 $\varphi(x,0)=a+\frac{o(x)}{x}\to a$；当 $x<0$ 时，$|x|=-x$，有 $(-x)\varphi(x,0)=ax+o(|x|)$，即 $\varphi(x,0)=-a+\frac{o(|x|)}{|x|}\to -a$。由 $\varphi$ 的连续性，$\varphi(0,0)=a=-a$，故 $a=0$，从而 $\varphi(0,0)=0$。
公式：a+b=0,\quad \varphi(0,0)=a=-a \Rightarrow a=0
提示：注意沿不同路径取极限时，要分别处理 $x>0$ 和 $x<0$ 的情况，并利用 $\varphi$ 的连续性。
步骤 4/4
目标：总结充要条件
由充分性和必要性两个方向的证明，可知 $\varphi(0,0)=0$ 是 $f(x,y)=|x-y|\varphi(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处可微的充分必要条件。
公式：\varphi(0,0)=0 \iff f\text{ 在 }(0,0)\text{ 可微}
提示：注意可微性要求 $f$ 在原点附近有线性逼近，而 $\varphi(0,0)=0$ 保证了 $f$ 的增长速度足够快地被控制。
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