西北大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
二．（15 分）已知 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 的某邻域连续，且 $\displaystyle F(t)=\iint_{x^{2}+y^{2} \leq t^{2}} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，求 $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0} \frac{F^{\prime}(t)}{e^{3 t}-1}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解F(t)的定义并转化为极坐标形式
已知 $F(t) = \iint_{x^2 + y^2 \le t^2} f(x,y) \, dx \, dy$，积分区域是半径为 $|t|$ 的圆盘。采用极坐标变换 $x = r\cos\theta,\; y = r\sin\theta$，则 $dx\,dy = r\,dr\,d\theta$，积分变为 $F(t) = \int_0^{2\pi} \int_0^{|t|} f(r\cos\theta, r\sin\theta)\, r\, dr\, d\theta$。由于极限 $t\to 0$，可假设 $t>0$，从而 $F(t) = \int_0^{2\pi} \int_0^t f(r\cos\theta, r\sin\theta)\, r\, dr\, d\theta$。
公式：F(t) = \int_0^{2\pi} \int_0^t f(r\cos\theta, r\sin\theta)\, r\, dr\, d\theta
提示：注意极坐标变换中面积元为 $r\,dr\,d\theta$，且 $t>0$ 时上限为 $t$，$t<0$ 时需取绝对值，但极限只关心 $t\to 0$，可先考虑 $t>0$。
步骤 2/5
目标：对F(t)求导得到F'(t)
利用含参变量积分求导的莱布尼茨法则：对 $F(t) = \int_0^{2\pi} \left( \int_0^t f(r\cos\theta, r\sin\theta)\, r\, dr \right) d\theta$ 关于 $t$ 求导，内层积分上限为 $t$，导数为被积函数在 $r=t$ 处的值乘以 $t$，即 $F'(t) = \int_0^{2\pi} f(t\cos\theta, t\sin\theta) \cdot t \, d\theta = t \int_0^{2\pi} f(t\cos\theta, t\sin\theta) \, d\theta$。
公式：F'(t) = t \int_0^{2\pi} f(t\cos\theta, t\sin\theta) \, d\theta
提示：求导时注意内层积分变量是 $r$，上限 $t$ 的导数为1，且被积函数中 $r$ 在 $r=t$ 处取值，不要遗漏因子 $t$。
步骤 3/5
目标：化简极限表达式
所求极限为 $\lim_{t\to 0} \frac{F'(t)}{e^{3t} - 1}$。分母在 $t\to 0$ 时等价于 $3t$（因为 $e^{3t} - 1 \sim 3t$），代入 $F'(t)$ 得 $\lim_{t\to 0} \frac{t \int_0^{2\pi} f(t\cos\theta, t\sin\theta) \, d\theta}{3t} = \lim_{t\to 0} \frac{1}{3} \int_0^{2\pi} f(t\cos\theta, t\sin\theta) \, d\theta$。
公式：\lim_{t\to 0} \frac{F'(t)}{e^{3t} - 1} = \lim_{t\to 0} \frac{1}{3} \int_0^{2\pi} f(t\cos\theta, t\sin\theta) \, d\theta
提示：使用等价无穷小 $e^{3t} - 1 \sim 3t$ 时，需确保分母不为零且极限存在，此处 $t\to 0$ 时成立。
步骤 4/5
目标：利用连续性求积分极限
由于 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处连续，对任意 $\theta$，当 $t\to 0$ 时，$f(t\cos\theta, t\sin\theta) \to f(0,0)$。且因为 $f$ 在紧集（如单位圆）上一致连续，该收敛关于 $\theta$ 是一致的，故极限可放入积分号内：$\lim_{t\to 0} \int_0^{2\pi} f(t\cos\theta, t\sin\theta) \, d\theta = \int_0^{2\pi} f(0,0) \, d\theta = 2\pi f(0,0)$。
公式：\lim_{t\to 0} \int_0^{2\pi} f(t\cos\theta, t\sin\theta) \, d\theta = 2\pi f(0,0)
提示：连续性保证逐点收敛，但需一致收敛才能交换极限与积分，这里因 $f$ 在原点邻域连续且积分区间有限，可保证一致收敛。
步骤 5/5
目标：得出最终结果
将上一步结果代入极限表达式，得 $\lim_{t\to 0} \frac{F'(t)}{e^{3t} - 1} = \frac{1}{3} \cdot 2\pi f(0,0) = \frac{2\pi}{3} f(0,0)$。
公式：\lim_{t\to 0} \frac{F'(t)}{e^{3t} - 1} = \frac{2\pi}{3} f(0,0)
提示：最终结果依赖于 $f(0,0)$，若 $f(0,0)=0$，则极限为0；否则为非零常数。
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