西北大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
四．（15 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 的某邻域存在连续的一阶导数，且 $\displaystyle f^{\prime}(0)=0, f^{\prime \prime}(0)$ 存在，求极限
$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(\ln (1+x))}{x^{3}}
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析极限形式与展开思路
极限为 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(\ln(1+x))}{x^3}$。当 $x \to 0$ 时，$\ln(1+x) \sim x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + o(x^3)$，分子是两个相近点函数值的差，分母为 $x^3$，需展开到三阶项。
公式：$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + o(x^3)$
提示：注意 $\ln(1+x)$ 的展开要精确到三阶，因为分母是 $x^3$。
步骤 2/6
目标：利用拉格朗日中值定理转化分子
由拉格朗日中值定理，存在 $\xi$ 介于 $x$ 与 $\ln(1+x)$ 之间，使得 $f(x)-f(\ln(1+x)) = f'(\xi)(x - \ln(1+x))$。当 $x \to 0$ 时，$\xi \to 0$。
公式：$f(x)-f(\ln(1+x)) = f'(\xi)(x - \ln(1+x))$
提示：中值定理将函数差转化为导数与自变量差的乘积，便于利用已知导数条件。
步骤 3/6
目标：展开 $x - \ln(1+x)$
计算 $x - \ln(1+x) = x - \left(x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + o(x^3)\right) = \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} + o(x^3)$。
公式：$x - \ln(1+x) = \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} + o(x^3)$
提示：注意符号，$\ln(1+x)$ 展开后减去，得到 $\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}$。
步骤 4/6
目标：利用 $f'(0)=0$ 和 $f''(0)$ 存在展开 $f'(\xi)$
由 $f'(0)=0$ 及 $f''(0)$ 存在，有 $f'(\xi) = f'(0) + f''(0)\xi + o(\xi) = f''(0)\xi + o(\xi)$。又 $\xi$ 介于 $x$ 与 $\ln(1+x)$ 之间，故 $\xi = x + o(x)$，代入得 $f'(\xi) = f''(0)x + o(x)$。
公式：$f'(\xi) = f''(0)x + o(x)$
提示：注意 $\xi$ 与 $x$ 的等价关系，$\xi \sim x$，但需保留一阶项。
步骤 5/6
目标：计算分子表达式并合并主项
将 $f'(\xi)$ 和 $x-\ln(1+x)$ 的展开代入：$f(x)-f(\ln(1+x)) = [f''(0)x + o(x)] \cdot \left[\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} + o(x^3)\right]$。乘开得主项 $f''(0)x \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{f''(0)}{2}x^3$，其余项均为 $o(x^3)$。
公式：$f(x)-f(\ln(1+x)) = \frac{f''(0)}{2}x^3 + o(x^3)$
提示：注意 $o(x) \cdot \frac{x^2}{2} = o(x^3)$，$f''(0)x \cdot (-\frac{x^3}{3}) = -\frac{f''(0)}{3}x^4 = o(x^3)$，故仅保留 $\frac{f''(0)}{2}x^3$。
步骤 6/6
目标：求极限得到最终结果
代入极限：$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(\ln(1+x))}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{f''(0)}{2}x^3 + o(x^3)}{x^3} = \frac{f''(0)}{2}$。
公式：$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(\ln(1+x))}{x^3} = \frac{f''(0)}{2}$
提示：极限结果仅依赖于 $f''(0)$，与 $f(0)$ 和 $f'(0)$ 无关。
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