西北大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
五．（15 分）求 $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{(-1)^{k}}{2 n+1}+\frac{1}{k(k+1)}\right)$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：识别题目中的笔误并修正
原题求和变量为 $k$，但表达式中出现了 $n$，根据常见题型，应修正为 $\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{(-1)^{k}}{2k+1}+\frac{1}{k(k+1)}\right)$。
提示：注意求和变量与表达式中的变量应一致，否则无意义。
步骤 2/5
目标：将级数拆分为两个独立级数
原级数可写为 $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{2k+1} + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k(k+1)}$，分别求和后再相加。
公式：$\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{(-1)^{k}}{2k+1}+\frac{1}{k(k+1)}\right) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{2k+1} + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k(k+1)}$
提示：拆分前需确认两个级数均收敛，这里它们都收敛。
步骤 3/5
目标：求第二个级数的和
利用裂项法：$\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$。部分和 $S_N^{(2)} = \sum_{k=1}^N \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right) = 1 - \frac{1}{N+1}$，当 $N \to \infty$ 时，$S_N^{(2)} \to 1$。
公式：$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k(k+1)} = 1$
提示：裂项后注意前后项抵消，不要遗漏首项。
步骤 4/5
目标：求第一个级数的和
考虑反正切函数的泰勒展开：$\arctan x = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k x^{2k+1}}{2k+1}$，$|x| \le 1$。令 $x=1$ 得 $\arctan 1 = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{2k+1} = \frac{\pi}{4}$。所求级数从 $k=1$ 开始，故 $\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{2k+1} = \frac{\pi}{4} - \frac{(-1)^0}{2\cdot0+1} = \frac{\pi}{4} - 1$。
公式：$\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{2k+1} = \frac{\pi}{4} - 1$
提示：注意展开式中 $k$ 从 $0$ 开始，需减去 $k=0$ 项。
步骤 5/5
目标：合并两部分结果
原级数 $= \left( \frac{\pi}{4} - 1 \right) + 1 = \frac{\pi}{4}$。
公式：$\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{(-1)^{k}}{2k+1}+\frac{1}{k(k+1)}\right) = \frac{\pi}{4}$
提示：合并时注意 $-1$ 与 $+1$ 抵消。
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