西北大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
九．（15 分）已知黎曼函数
$$
R(x)= \begin{cases}\frac{1}{q}, & x=\frac{p}{q}, \text { 其中 } p, q \text { 为正整数, 且 }(p, q)=1 ; \\ 0, & x \text { 为无理数 } ; \\ 1, & x=0,1 .(\text { 可能有误, 黎曼函数在端点处取值应为 } 0)\end{cases}
$$
讨论并说明 $\displaystyle R(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上的可积性与连续性．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：明确黎曼函数的定义
采用标准黎曼函数定义在区间 $[0,1]$ 上：
$$
R(x)=
\begin{cases}
\frac{1}{q}, & x=\frac{p}{q},\ p,q\in\mathbb{N}^+,\ (p,q)=1,\ 0
公式：R(x)=\begin{cases}\frac{1}{q}, & x=\frac{p}{q},\ (p,q)=1,\\0, & x\text{为无理数或端点}\end{cases}
提示：注意端点 $x=0,1$ 通常定义为 $0$，与题目中可能的有误表述区分。
步骤 2/8
目标：讨论无理数点的连续性
设 $x_0$ 为 $(0,1)$ 内的无理数。对任意 $\varepsilon>0$，取正整数 $N$ 使得 $1/N<\varepsilon$。在 $[0,1]$ 内分母不超过 $N$ 的有理数只有有限个，由于 $x_0$ 不是有理数，存在 $\delta>0$ 使得邻域 $(x_0-\delta,x_0+\delta)$ 不包含这些有限个有理点。在此邻域内，任何有理点（若有）的分母都大于 $N$，从而 $R(x)<1/N<\varepsilon$；无理点处 $R(x)=0$。故 $|R(x)-R(x_0)|=|R(x)-0|<\varepsilon$，因此 $R$ 在 $x_0$ 连续。
公式：\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0,\forall x\in(x_0-\delta,x_0+\delta):|R(x)-R(x_0)|<\varepsilon
提示：关键：分母不超过 $N$ 的有理点只有有限个，可以避开。
步骤 3/8
目标：讨论有理数点的连续性
设 $x_0=p/q$ 为既约分数，$00$。在任意邻域 $(x_0-\delta,x_0+\delta)$ 内都存在无理数 $x'$，使得 $R(x')=0$，于是 $|R(x')-R(x_0)|=1/q$ 不趋于 $0$。因此极限 $\lim_{x\to x_0}R(x)$ 不存在或不为 $R(x_0)$，故 $R$ 在 $x_0$ 不连续。端点 $0$ 和 $1$ 处 $R(0)=R(1)=0$，但任意邻域内存在有理数使其函数值为正，同样不连续。
公式：\lim_{x\to x_0}R(x)\neq R(x_0)\quad(\text{当 }x_0\text{为有理数})
提示：有理点处函数值大于0，但邻域内总有函数值为0的无理点。
步骤 4/8
目标：总结连续性结论
综合以上：
- 在 $[0,1]$ 上的所有无理数点，$R(x)$ 连续；
- 在 $[0,1]$ 上的所有有理数点（包括 $0$ 和 $1$），$R(x)$ 不连续。
公式：\text{连续点集}=\{x\in[0,1]\mid x\text{为无理数}\}
提示：不连续点集为可数集。
步骤 5/8
目标：讨论可积性：有界性
由定义，$0\leq R(x)\leq 1$ 对所有 $x\in[0,1]$ 成立，因此 $R(x)$ 在 $[0,1]$ 上有界。
公式：0\leq R(x)\leq 1,\quad\forall x\in[0,1]
提示：有界性是黎曼可积的必要条件之一。
步骤 6/8
目标：讨论可积性：不连续点集的测度
黎曼可积的充要条件是函数有界且几乎处处连续（即不连续点集为零测集）。$R(x)$ 的不连续点集为 $[0,1]$ 内的所有有理数，这是可数集。可数集的勒贝格测度为 $0$，因此不连续点集是零测集。
公式：m(\{x\in[0,1]\mid x\text{为有理数}\})=0
提示：可数集测度为0是实分析中的基本结论。
步骤 7/8
目标：得出可积性结论
由于 $R(x)$ 在 $[0,1]$ 上有界，且不连续点集为零测集，根据黎曼可积的勒贝格判别法，$R(x)$ 在 $[0,1]$ 上黎曼可积。
公式：\text{黎曼可积}\iff \text{有界且几乎处处连续}
提示：勒贝格判别法是判断黎曼可积的常用工具。
步骤 8/8
目标：整理最终答案
黎曼函数 $R(x)$ 在 $[0,1]$ 上：
- 在无理数点处连续，在有理数点处不连续；
- 在 $[0,1]$ 上黎曼可积。
公式：\text{连续性：无理点连续，有理点间断；可积性：黎曼可积}
提示：注意区分连续性与可积性的不同条件。
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