西北大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
七．（15 分）叙述并证明康托尔（Cantor）定理．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：叙述康托尔定理（区间套定理）
设有一列闭区间 $\{[a_n, b_n]\}_{n=1}^\infty$，满足：
1. 对任意 $n$，有 $[a_{n+1}, b_{n+1}] \subseteq [a_n, b_n]$；
2. 区间长度趋于零，即 $\lim_{n \to \infty} (b_n - a_n) = 0$。
则存在唯一的一点 $\xi \in \mathbb{R}$，使得对所有 $n$，都有 $\xi \in [a_n, b_n]$，即 $\bigcap_{n=1}^\infty [a_n, b_n] = \{\xi\}$。
公式：\bigcap_{n=1}^\infty [a_n, b_n] = \{\xi\}
提示：注意条件是闭区间，且长度趋于零，开区间不成立。
步骤 2/6
目标：证明左端点序列单调递增且有上界，右端点序列单调递减且有下界
由条件 (1) 可知，$[a_{n+1}, b_{n+1}] \subseteq [a_n, b_n]$，因此 $a_n \leq a_{n+1}$ 且 $b_{n+1} \leq b_n$，即 $\{a_n\}$ 单调递增，$\{b_n\}$ 单调递减。又因为 $a_n \leq b_1$（所有左端点不超过第一个右端点），$b_n \geq a_1$（所有右端点不小于第一个左端点），所以 $\{a_n\}$ 有上界 $b_1$，$\{b_n\}$ 有下界 $a_1$。
公式：a_n \leq a_{n+1} \leq b_1,\quad b_{n+1} \leq b_n \geq a_1
提示：单调有界定理是实数完备性的核心，注意上下界的确定。
步骤 3/6
目标：利用单调有界定理证明两个数列收敛
根据实数完备性的单调有界定理，单调递增且有上界的数列 $\{a_n\}$ 收敛，单调递减且有下界的数列 $\{b_n\}$ 收敛。设 $\lim_{n\to\infty} a_n = \xi$，$\lim_{n\to\infty} b_n = \eta$。
公式：\lim_{n\to\infty} a_n = \xi,\quad \lim_{n\to\infty} b_n = \eta
提示：收敛性的证明依赖于实数系的完备性，这是关键步骤。
步骤 4/6
目标：证明两个极限相等
由 $a_n \leq b_n$ 及极限的保序性，得 $\xi \leq \eta$。又由条件 (2) 知 $\lim_{n\to\infty} (b_n - a_n) = 0$，而 $\lim_{n\to\infty} (b_n - a_n) = \eta - \xi$，因此 $\eta - \xi = 0$，即 $\xi = \eta$。
公式：\eta - \xi = \lim_{n\to\infty} (b_n - a_n) = 0 \Rightarrow \xi = \eta
提示：极限的减法运算和保序性要同时使用，注意 $\xi \leq \eta$ 和 $\eta - \xi = 0$ 推出相等。
步骤 5/6
目标：证明公共极限属于每一个闭区间
对任意固定的 $n$，当 $k \geq n$ 时，由区间套条件有 $a_n \leq a_k \leq b_k \leq b_n$。令 $k \to \infty$，由极限的保不等式性得 $a_n \leq \xi \leq b_n$，即 $\xi \in [a_n, b_n]$。由于 $n$ 是任意的，所以 $\xi$ 属于所有区间。
公式：a_n \leq \lim_{k\to\infty} a_k = \xi \leq \lim_{k\to\infty} b_k = b_n
提示：保不等式性要求极限存在，且不等式在极限过程中保持，注意 $k \geq n$ 的设定。
步骤 6/6
目标：证明唯一性
若还有另一点 $\xi'$ 也属于所有区间，则对任意 $n$，有 $|\xi - \xi'| \leq b_n - a_n$。因为 $\lim_{n\to\infty} (b_n - a_n) = 0$，所以 $|\xi - \xi'| = 0$，即 $\xi' = \xi$。因此存在唯一的 $\xi$ 属于所有闭区间。
公式：|\xi - \xi'| \leq b_n - a_n \to 0 \Rightarrow \xi = \xi'
提示：唯一性证明利用了区间长度趋于零，若长度不趋于零则可能不唯一。
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