西北大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
三．（15 分）解答如下问题：
（1）证明：若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n+1}-a_{n}\right)=a$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{n}=a$ ．
（2）已知 $\displaystyle 0<x_{1}<1, x_{n+1}=x_{n}\left(1-x_{n}\right)$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n x_{n}=1$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：证明第一问：由相邻项差极限为a推出a_n/n的极限为a
由极限定义，对任意ε>0，存在N，当n≥N时，有|a_{n+1}-a_n-a|<ε，即a-εN，累加得a_n-a_N=∑_{k=N}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)，故(n-N)(a-ε)N，当n>N_1时，a-2ε<\frac{a_n}{n}
公式：a_n - a_N = \sum_{k=N}^{n-1} (a_{k+1} - a_k)
提示：注意累加时下标从N到n-1，不要遗漏项；除以n后要分别处理(n-N)/n和a_N/n的极限。
步骤 2/4
目标：分析第二问数列性质：单调递减趋于0
由0
公式：x_{n+1} = x_n(1-x_n), \quad \lim_{n\to\infty} x_n = 0
提示：注意验证单调性和有界性，极限方程求解时需考虑L=0是唯一合理值。
步骤 3/4
目标：构造倒数数列并求相邻项差
令y_n=1/x_n，则y_{n+1}=1/x_{n+1}=1/[x_n(1-x_n)]=y_n/(1-x_n)。于是y_{n+1}-y_n=y_n[1/(1-x_n)-1]=y_n·x_n/(1-x_n)=1/(1-x_n)。由于x_n→0，故\lim_{n→∞}(y_{n+1}-y_n)=\lim_{n→∞}1/(1-x_n)=1。
公式：y_{n+1} - y_n = \frac{1}{1-x_n}
提示：注意化简时利用y_n=1/x_n，避免直接代入复杂表达式；极限计算时x_n→0是关键。
步骤 4/4
目标：应用第一问结论到倒数数列
由第一问结论，若\lim_{n→∞}(y_{n+1}-y_n)=1，则\lim_{n→∞}y_n/n=1。而y_n=1/x_n，故\lim_{n→∞}1/(n x_n)=1，即\lim_{n→∞}n x_n=1。
公式：\lim_{n\to\infty} \frac{y_n}{n} = 1 \Rightarrow \lim_{n\to\infty} n x_n = 1
提示：注意第一问中a对应这里的1，a_n对应y_n，直接套用结论即可。
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