西北工业大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
一．（1）用 $\displaystyle \varepsilon-\delta$ 语言叙述 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=A$ 与 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x) \neq A$ 的定义；
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{x+2 a}{x-a}\right)^{x}=8$ ，求 $a$ ；
（3）求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sqrt[n]{n(n+1) \cdots(2 n-1)}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：用ε-δ语言叙述极限lim_{x→x0} f(x)=A的定义
对于任意给定的正数ε，存在一个正数δ，使得当x满足0<|x-x0|<δ时，恒有|f(x)-A|<ε成立。
公式：∀ε>0, ∃δ>0, 当0<|x-x0|<δ时，有|f(x)-A|<ε
提示：注意δ的存在性依赖于ε，且x≠x0。
步骤 2/7
目标：用ε-δ语言叙述极限lim_{x→x0} f(x)≠A的定义
存在某个正数ε0，使得对于任意正数δ，总存在一个x满足0<|x-x0|<δ，但|f(x)-A|≥ε0。这是对极限定义中“任意ε”的否定。
公式：∃ε0>0, ∀δ>0, ∃x满足0<|x-x0|<δ且|f(x)-A|≥ε0
提示：这是极限不等于A的严格数学表述，并非极限不存在。
步骤 3/7
目标：化简极限表达式并转化为重要极限形式
将分式变形：\frac{x+2a}{x-a}=1+\frac{3a}{x-a}。则原极限为\lim_{x→+∞}\left(1+\frac{3a}{x-a}\right)^x。令t=\frac{x-a}{3a}，则x=3at+a，当x→+∞时t→+∞。代入得：\left(1+\frac{1}{t}\right)^{3at+a}=\left[\left(1+\frac{1}{t}\right)^t\right]^{3a}\cdot\left(1+\frac{1}{t}\right)^a。
公式：\lim_{x→+∞}\left(1+\frac{3a}{x-a}\right)^x = \lim_{t→+∞}\left[\left(1+\frac{1}{t}\right)^t\right]^{3a}\cdot\left(1+\frac{1}{t}\right)^a
提示：变量替换时注意x与t的关系要准确，且极限过程一致。
步骤 4/7
目标：利用重要极限求参数a
由重要极限\lim_{t→+∞}\left(1+\frac{1}{t}\right)^t=e，且\lim_{t→+∞}\left(1+\frac{1}{t}\right)^a=1，得原极限=e^{3a}。由题设e^{3a}=8，两边取自然对数得3a=ln8=3ln2，所以a=ln2。
公式：e^{3a}=8 ⇒ a=ln2
提示：注意ln8=3ln2，不要误写为ln8=2ln2。
步骤 5/7
目标：将第三问的极限取对数转化为黎曼和形式
设L=ln(原极限)，则L=lim_{n→∞}[ (1/n)∑_{k=n}^{2n-1} ln k - ln n ]。将求和改写为(1/n)∑_{k=0}^{n-1} ln(n+k)=ln n + (1/n)∑_{k=0}^{n-1} ln(1+k/n)。代入得L=lim_{n→∞}(1/n)∑_{k=0}^{n-1} ln(1+k/n)。
公式：L = \lim_{n→∞}\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\ln\left(1+\frac{k}{n}\right)
提示：注意求和下标从k=n到2n-1共n项，要正确转化为k=0到n-1的形式。
步骤 6/7
目标：计算黎曼和对应的定积分
该和是函数ln(1+x)在区间[0,1]上的黎曼和，因此L=∫_0^1 ln(1+x)dx。计算积分：∫ln(1+x)dx=(1+x)ln(1+x)-x+C，代入上下限得：[(2ln2-1)-(1·ln1-0)]=2ln2-1。
公式：∫_0^1 \ln(1+x)dx = 2\ln2-1
提示：定积分计算时注意ln1=0，且原函数要正确。
步骤 7/7
目标：还原原极限值
由L=2ln2-1，原极限=e^{2ln2-1}=e^{ln(4)}·e^{-1}=4/e。
公式：\lim_{n→∞}\frac{1}{n}\sqrt[n]{n(n+1)\cdots(2n-1)} = \frac{4}{e}
提示：注意e^{2ln2}=4，不要遗漏分母e。
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