📝 西北工业大学 2023年数学分析真题
第0题
一．（1）用 $\displaystyle \varepsilon-\delta$ 语言叙述 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=A$ 与 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x) \neq A$ 的定义；
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{x+2 a}{x-a}\right)^{x}=8$ ，求 $a$ ；
（3）求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sqrt[n]{n(n+1) \cdots(2 n-1)}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{x+2 a}{x-a}\right)^{x}=8$ ，求 $a$ ；
（3）求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sqrt[n]{n(n+1) \cdots(2 n-1)}$ ．
第0题
七．幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收玫半径为 $\displaystyle R \in(0,+\infty)$ ，其在开区间 $\displaystyle (-R, R)$ 上一致收玫，证明：其在闭区间 $\displaystyle [-R, R]$ 上一致收玫．
第0题
三．$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在，证明：
（1）函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上有界；
（2）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上有最大值或最小值；
（3）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续．
（1）函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上有界；
（2）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上有最大值或最小值；
（3）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续．
第0题
二．（1）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [0,1]$ 上的连续函数，证明： $\displaystyle \int_{0}^{\pi} x f(\sin x) d x=\frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} f(\sin x) d x$ ；
（2）计算 $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{x}{4 \sin ^{2} x+\cos ^{2} x} d x$ ．
（2）计算 $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{x}{4 \sin ^{2} x+\cos ^{2} x} d x$ ．
第0题
五．（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}-\sin \frac{1}{n}\right)^{\alpha}$ 的收敛域；
（2）求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{3^{n+1}} x^{n}$ 的收玫域及和函数；
（3）将 $\displaystyle f(x)=(x-1)^{2}$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上展开成余弦级数，并推出 $\displaystyle \pi^{2}=6\left(1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\cdots\right)$ ．
（2）求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{3^{n+1}} x^{n}$ 的收玫域及和函数；
（3）将 $\displaystyle f(x)=(x-1)^{2}$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上展开成余弦级数，并推出 $\displaystyle \pi^{2}=6\left(1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\cdots\right)$ ．
第0题
六．（1）讨论 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{x^{m} \ln (1+x)}{1+x^{n}} d x,(n \geq 0)$ 收玫性．
（2）计算 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} e^{-x} \frac{\sin b x-\sin a x}{x} d x(b>a>0)$ ．
（3）计算积分 $\displaystyle \iint_{S} x d y d z+y d z d x+z d x d y, S$ 是上半球面 $\displaystyle z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}$ 的外侧．
（2）计算 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} e^{-x} \frac{\sin b x-\sin a x}{x} d x(b>a>0)$ ．
（3）计算积分 $\displaystyle \iint_{S} x d y d z+y d z d x+z d x d y, S$ 是上半球面 $\displaystyle z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}$ 的外侧．
第0题
四．（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，$\displaystyle (a, b)$ 内可导，$\displaystyle f(a)=f(b)=0$ ．证明：
对任意 $\displaystyle k \in R$ ，存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle k f(\xi)=f^{\prime}(\xi)$ ；
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b](0<a<b)$ 上可导，$\displaystyle f(a) \neq f(b)$ ．证明：存在 $\displaystyle \xi, \eta \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=\frac{a+b}{2 \eta} f^{\prime}(\eta)$ ；
（3）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 可导，且 $\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leq M, x \in[0,1]$ ．证明：对任何正整数 $n$ ，有 $\displaystyle \left|\int_{0}^{1} f(x) d x-\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f\left(\frac{i}{n}\right)\right| \leq \frac{M}{n}$.
对任意 $\displaystyle k \in R$ ，存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle k f(\xi)=f^{\prime}(\xi)$ ；
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b](0<a<b)$ 上可导，$\displaystyle f(a) \neq f(b)$ ．证明：存在 $\displaystyle \xi, \eta \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=\frac{a+b}{2 \eta} f^{\prime}(\eta)$ ；
（3）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 可导，且 $\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leq M, x \in[0,1]$ ．证明：对任何正整数 $n$ ，有 $\displaystyle \left|\int_{0}^{1} f(x) d x-\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f\left(\frac{i}{n}\right)\right| \leq \frac{M}{n}$.