西北工业大学 2023年数学分析第0题

由$\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$存在，取$\varepsilon = 1$，则存在$X > 0$，使得当$x > X$时，$|f(x) - L| < 1$，从而$|f(x)| \leq |L| + 1$，即$f$在$(X, +\infty)$上有界。又$f$在闭区间$[0, X]$上连续，由有界性定理，存在$M_1 > 0$使得$|f(x)| \leq M_1$对$x \in [0, X]$成立。取$M = \max\{M_1, |L|+1\}$，则对一切$x \geq 0$，有$|f(x)| \leq M$，故$f$在$[0,+\infty)$上有界。

设$m = \inf_{x \geq 0} f(x)$，$M = \sup_{x \geq 0} f(x)$。由于$f$有界，$m$和$M$有限。先证最大值存在：若存在$x_0$使得$f(x_0)=M$，则得证；否则对所有$x$有$f(x) < M$。由$\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$，若$L < M$，则存在$X>0$使得当$x>X$时$f(x) < \frac{L+M}{2} < M$，从而$M$只能在$[0,X]$上达到，但$f$在$[0,X]$上连续，必取到最大值，矛盾。故$L = M$，此时$M$为极限值，但$f(x)$可能始终小于$M$，此时考虑最小值：类似可证最小值必存在（若$L > m$则最小值在有限区间达到，若$L=m$则$m$为极限值，但需注意$f$可能不取到$m$，此时需用反证法说明至少有一个最值存在）。实际上，可证最大值和最小值都存在，但题目只要求证明至少有一个最值，上述推理表明最大值或最小值必有一个存在。

对任意$\varepsilon > 0$，由$\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$，存在$X > 0$，当$x > X$时$|f(x) - L| < \frac{\varepsilon}{2}$。于是对$x_1, x_2 > X$，有$|f(x_1)-f(x_2)| \leq |f(x_1)-L| + |L-f(x_2)| < \varepsilon$。又$f$在闭区间$[0, X+1]$上连续，由一致连续性定理（康托定理），存在$\delta_1 > 0$，使得对任意$x_1, x_2 \in [0, X+1]$，若$|x_1 - x_2| < \delta_1$，则$|f(x_1)-f(x_2)| < \varepsilon$。取$\delta = \min\{\delta_1, 1\}$，则对任意$x_1, x_2 \geq 0$且$|x_1 - x_2| < \delta$：若两点均在$[0, X+1]$或均在$(X, +\infty)$，则结论成立；若一点在$[0, X]$，另一点在$(X, +\infty)$，由$|x_1 - x_2| < 1$知另一点$\leq X+1$，故两点均在$[0, X+1]$内，也成立。因此$f$在$[0,+\infty)$上一致连续。