西北工业大学 2023年数学分析第0题

当 $n \to \infty$ 时，$\frac{1}{n} \to 0$，利用 $\sin x$ 的泰勒展开：$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$，代入 $x = \frac{1}{n}$ 得 $\sin\frac{1}{n} = \frac{1}{n} - \frac{1}{6n^3} + O\left(\frac{1}{n^5}\right)$，因此 $\frac{1}{n} - \sin\frac{1}{n} = \frac{1}{6n^3} + O\left(\frac{1}{n^5}\right)$。

通项 $\left(\frac{1}{n} - \sin\frac{1}{n}\right)^\alpha \sim \left(\frac{1}{6n^3}\right)^\alpha = \frac{1}{6^\alpha n^{3\alpha}}$，由 $p$-级数判别法，级数 $\sum \frac{1}{n^{3\alpha}}$ 收敛当且仅当 $3\alpha > 1$，即 $\alpha > \frac{1}{3}$。当 $\alpha = \frac{1}{3}$ 时，通项 $\sim \frac{1}{\sqrt[3]{6} \, n}$，发散。

系数 $a_n = \frac{n+1}{3^{n+1}}$，由比值法：$\lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n\to\infty} \frac{n+2}{3^{n+2}} \cdot \frac{3^{n+1}}{n+1} = \frac{1}{3}$，故收敛半径 $R=3$。端点 $x=3$ 时级数为 $\sum \frac{n+1}{3}$ 发散；$x=-3$ 时级数为 $\sum \frac{n+1}{3}(-1)^n$ 发散。收敛域为 $(-3,3)$。

设 $S(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{n+1}{3^{n+1}} x^n = \frac{1}{3}\sum_{n=1}^\infty (n+1)\left(\frac{x}{3}\right)^n$，令 $t=\frac{x}{3}$，则 $S(x)=\frac{1}{3}\sum_{n=1}^\infty (n+1)t^n$。利用已知级数：$\sum_{n=1}^\infty n t^n = \frac{t}{(1-t)^2}$，$\sum_{n=1}^\infty t^n = \frac{t}{1-t}$，相加得 $\sum_{n=1}^\infty (n+1)t^n = \frac{2t - t^2}{(1-t)^2}$。代回 $t=\frac{x}{3}$，化简得 $S(x)=\frac{x(6-x)}{3(3-x)^2}$。

余弦级数展开形式为 $f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n \cos(n\pi x)$，其中 $a_n = 2\int_0^1 f(x)\cos(n\pi x)\,dx$。先算 $a_0$：$a_0 = 2\int_0^1 (x-1)^2 dx = 2\int_0^1 (x^2-2x+1)dx = 2\left[\frac{x^3}{3} - x^2 + x\right]_0^1 = \frac{2}{3}$。

令 $t=x-1$，则 $a_n = 2\int_{-1}^0 t^2 \cos(n\pi(t+1))\,dt = 2(-1)^n\int_{-1}^0 t^2 \cos(n\pi t)\,dt$。利用被积函数为偶函数，得 $a_n = 2(-1)^n\int_0^1 t^2 \cos(n\pi t)\,dt$。计算积分：$\int_0^1 t^2 \cos(n\pi t)\,dt = \left[ t^2 \frac{\sin(n\pi t)}{n\pi} \right]_0^1 - \frac{2}{n\pi}\int_0^1 t \sin(n\pi t)\,dt = -\frac{2}{n\pi}\int_0^1 t \sin(n\pi t)\,dt$。再分部积分：$\int_0^1 t \sin(n\pi t)\,dt = \left[ -t\frac{\cos(n\pi t)}{n\pi} \right]_0^1 + \frac{1}{n\pi}\int_0^1 \cos(n\pi t)\,dt = -\frac{(-1)^n}{n\pi} + \frac{1}{n\pi}\cdot 0 = -\frac{(-1)^n}{n\pi}$。因此 $\int_0^1 t^2 \cos(n\pi t)\,dt = -\frac{2}{n\pi}\left(-\frac{(-1)^n}{n\pi}\right) = \frac{2(-1)^n}{n^2\pi^2}$，代入得 $a_n = 2(-1)^n \cdot \frac{2(-1)^n}{n^2\pi^2} = \frac{4}{n^2\pi^2}$。

余弦级数为 $(x-1)^2 = \frac{1}{3} + \sum_{n=1}^\infty \frac{4}{n^2\pi^2} \cos(n\pi x)$，在 $x=0$ 处，$f(0)=1$，且 $\cos(0)=1$，代入得 $1 = \frac{1}{3} + \sum_{n=1}^\infty \frac{4}{n^2\pi^2}$，即 $\frac{2}{3} = \frac{4}{\pi^2} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$，所以 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$，即 $\pi^2 = 6\left(1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots\right)$。