西北工业大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
二．（1）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [0,1]$ 上的连续函数，证明： $\displaystyle \int_{0}^{\pi} x f(\sin x) d x=\frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} f(\sin x) d x$ ；
（2）计算 $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{x}{4 \sin ^{2} x+\cos ^{2} x} d x$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明积分等式：∫₀^π x f(sin x) dx = (π/2) ∫₀^π f(sin x) dx
令 t = π - x，则当 x 从 0 到 π 时，t 从 π 到 0，dx = -dt。代入得：
∫₀^π x f(sin x) dx = ∫_π^0 (π - t) f(sin(π - t)) (-dt) = ∫₀^π (π - t) f(sin t) dt。
将积分变量改回 x，得：∫₀^π x f(sin x) dx = ∫₀^π (π - x) f(sin x) dx。
右边拆开：∫₀^π (π - x) f(sin x) dx = π ∫₀^π f(sin x) dx - ∫₀^π x f(sin x) dx。
记 I = ∫₀^π x f(sin x) dx，则 I = π ∫₀^π f(sin x) dx - I，移项得 2I = π ∫₀^π f(sin x) dx，故 I = (π/2) ∫₀^π f(sin x) dx。
公式：I = \frac{\pi}{2} \int_0^\pi f(\sin x) \, dx
提示：注意 sin(π - t) = sin t，换元后积分限要正确翻转。
步骤 2/6
目标：化简第二问被积函数分母
计算分母：4 sin² x + cos² x = 4 sin² x + (1 - sin² x) = 3 sin² x + 1。因此被积函数为 x / (1 + 3 sin² x)。
公式：4\sin^2 x + \cos^2 x = 1 + 3\sin^2 x
提示：利用恒等式 sin² x + cos² x = 1 进行化简。
步骤 3/6
目标：应用第一问结论
取 f(t) = 1/(1 + 3t²)，则 f(sin x) = 1/(1 + 3 sin² x)。由第一问结论：∫₀^π x/(1 + 3 sin² x) dx = (π/2) ∫₀^π 1/(1 + 3 sin² x) dx。
公式：\int_0^\pi \frac{x}{1+3\sin^2 x} \, dx = \frac{\pi}{2} \int_0^\pi \frac{1}{1+3\sin^2 x} \, dx
提示：验证 f(t) 在 [0,1] 上连续，满足条件。
步骤 4/6
目标：利用对称性简化积分区间
由于 sin² x 在 [0, π] 上关于 π/2 对称，有 ∫₀^π 1/(1 + 3 sin² x) dx = 2 ∫₀^{π/2} 1/(1 + 3 sin² x) dx。
公式：\int_0^\pi \frac{dx}{1+3\sin^2 x} = 2 \int_0^{\pi/2} \frac{dx}{1+3\sin^2 x}
提示：对称性：f(x) = f(π - x) 时积分可折半。
步骤 5/6
目标：通过三角恒等变换化为正切积分
对 ∫₀^{π/2} dx/(1 + 3 sin² x)，分子分母同除以 cos² x：
∫₀^{π/2} (1/cos² x) dx / (1/cos² x + 3 tan² x) = ∫₀^{π/2} sec² x dx / (1 + tan² x + 3 tan² x) = ∫₀^{π/2} sec² x dx / (1 + 4 tan² x)。
令 t = tan x，则 dt = sec² x dx，当 x = 0 时 t = 0，x = π/2 时 t → +∞，积分化为 ∫₀^∞ dt/(1 + 4t²)。
公式：\int_0^{\pi/2} \frac{dx}{1+3\sin^2 x} = \int_0^\infty \frac{dt}{1+4t^2}
提示：注意 tan x 在 π/2 处趋于无穷，积分限变为 0 到 ∞。
步骤 6/6
目标：计算标准积分并代回
计算 ∫₀^∞ dt/(1 + 4t²)：令 u = 2t，则 du = 2 dt，dt = du/2，积分变为 (1/2) ∫₀^∞ du/(1 + u²) = (1/2) * (π/2) = π/4。
因此 ∫₀^{π/2} dx/(1 + 3 sin² x) = π/4，进而 J = 2 * (π/4) = π/2。
原积分 = (π/2) * (π/2) = π²/4。
公式：\int_0^\infty \frac{dt}{1+4t^2} = \frac{\pi}{4}, \quad \text{原积分} = \frac{\pi^2}{4}
提示：标准积分 ∫₀^∞ du/(1+u²) = π/2，注意系数不要算错。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。