西北工业大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
六．（1）讨论 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{x^{m} \ln (1+x)}{1+x^{n}} d x,(n \geq 0)$ 收玫性．
（2）计算 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} e^{-x} \frac{\sin b x-\sin a x}{x} d x(b>a>0)$ ．
（3）计算积分 $\displaystyle \iint_{S} x d y d z+y d z d x+z d x d y, S$ 是上半球面 $\displaystyle z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}$ 的外侧．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：讨论积分在 x→0⁺ 处的收敛性
当 $x \to 0^+$ 时，$\ln(1+x) \sim x$，且 $1+x^n \sim 1$，故被积函数 $\frac{x^m \ln(1+x)}{1+x^n} \sim x^{m+1}$。积分 $\int_0^1 x^{m+1} dx$ 在 $m+1 > -1$ 时收敛，即 $m > -2$。
公式：$\frac{x^m \ln(1+x)}{1+x^n} \sim x^{m+1}, \quad x \to 0^+$
提示：注意 $\ln(1+x) \sim x$ 是常用等价无穷小，不要忽略分母 $1+x^n$ 在 $x=0$ 处趋于 1。
步骤 2/7
目标：讨论积分在 x→+∞ 处的收敛性
当 $x \to +\infty$ 时，$\ln(1+x) \sim \ln x$，分母 $1+x^n \sim x^n$，故被积函数 $\frac{x^m \ln(1+x)}{1+x^n} \sim x^{m-n} \ln x$。积分 $\int^{+\infty} x^{p} \ln x \, dx$ 收敛的条件是 $p < -1$，即 $m-n < -1$，得 $m < n-1$。
公式：$\frac{x^m \ln(1+x)}{1+x^n} \sim x^{m-n} \ln x, \quad x \to +\infty$
提示：对数因子 $\ln x$ 不影响幂次收敛性，只需幂指数小于 -1 即可。
步骤 3/7
目标：综合收敛条件并给出结论
综合两个端点的条件：$m > -2$ 且 $m < n-1$。当 $n > 0$ 时，收敛区间为 $-2 < m < n-1$；当 $n=0$ 时，分母为常数 2，无穷远处条件变为 $m < -1$，故收敛区间为 $-2 < m < -1$。
公式：$-2 < m < n-1 \quad (n>0); \quad -2 < m < -1 \quad (n=0)$
提示：注意 $n=0$ 是特殊情况，需单独讨论。
步骤 4/7
目标：计算含参积分 $\int_0^{+\infty} e^{-x} \frac{\sin(kx)}{x} dx$
设 $F(k) = \int_0^{+\infty} e^{-x} \frac{\sin(kx)}{x} dx$，对 $k$ 求导得 $F'(k) = \int_0^{+\infty} e^{-x} \cos(kx) dx$。计算该积分：$\int_0^{+\infty} e^{-x} \cos(kx) dx = \frac{1}{1+k^2}$。积分得 $F(k) = \arctan k + C$，由 $F(0)=0$ 得 $C=0$，故 $F(k) = \arctan k$。
公式：$F'(k) = \int_0^{+\infty} e^{-x} \cos(kx) dx = \frac{1}{1+k^2}$
提示：求导后积分需验证交换次序的条件，此处 $e^{-x}$ 保证一致收敛。
步骤 5/7
目标：利用线性性质得到原积分结果
原积分为 $\int_0^{+\infty} e^{-x} \frac{\sin(bx)-\sin(ax)}{x} dx = F(b) - F(a) = \arctan b - \arctan a$。
公式：$\int_0^{+\infty} e^{-x} \frac{\sin(bx)-\sin(ax)}{x} dx = \arctan b - \arctan a$
提示：注意 $b > a > 0$，结果为正。
步骤 6/7
目标：补面并应用高斯公式
曲面 $S$ 为上半球面 $z = \sqrt{1-x^2-y^2}$ 外侧，不封闭。补底面 $S_1$：$x^2+y^2 \le 1, z=0$，取下侧。则 $S \cup S_1$ 构成封闭曲面外侧，包围区域 $\Omega$ 为上半球体。由高斯公式：$\iint_{S \cup S_1} x dy dz + y dz dx + z dx dy = \iiint_\Omega (\frac{\partial x}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial z}) dV = \iiint_\Omega 3 dV$。
公式：$\iiint_\Omega 3 dV = 3 \cdot \frac{2}{3}\pi = 2\pi$
提示：高斯公式要求曲面封闭且方向向外，补面时注意方向。
步骤 7/7
目标：计算底面积分并得到最终结果
在底面 $S_1$ 上，$z=0$，法向量为 $(0,0,-1)$，故 $x dy dz + y dz dx + z dx dy = z dx dy = 0$，所以底面积分为 0。因此原积分 $\iint_S = 2\pi - 0 = 2\pi$。
公式：$\iint_S x dy dz + y dz dx + z dx dy = 2\pi$
提示：注意第二类曲面积分中 $z dx dy$ 项在 $z=0$ 时为零，但需确认方向。
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