西北工业大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
七．幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收玫半径为 $\displaystyle R \in(0,+\infty)$ ，其在开区间 $\displaystyle (-R, R)$ 上一致收玫，证明：其在闭区间 $\displaystyle [-R, R]$ 上一致收玫．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确已知条件和目标
已知幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 的收敛半径为 $R \in (0, +\infty)$，且在开区间 $(-R, R)$ 上一致收敛。需要证明该幂级数在闭区间 $[-R, R]$ 上也一致收敛。
提示：注意：一致收敛是比逐点收敛更强的性质，但这里开区间上的一致收敛是已知条件，不是内闭一致收敛。
步骤 2/5
目标：利用一致收敛的柯西准则在开区间上建立不等式
由于幂级数在 $(-R, R)$ 上一致收敛，根据函数项级数一致收敛的柯西准则：对任意 $\varepsilon > 0$，存在正整数 $N$，使得对所有 $m > n \geq N$ 以及所有 $x \in (-R, R)$，都有
\[
\left| \sum_{k=n+1}^{m} a_k x^k \right| < \varepsilon.
\]
公式：\left| \sum_{k=n+1}^{m} a_k x^k \right| < \varepsilon, \quad \forall x \in (-R, R)
提示：柯西准则是证明一致收敛的常用工具，这里需要固定 $n,m$ 后考虑端点极限。
步骤 3/5
目标：将不等式延拓到右端点 $x=R$
对于固定的 $m > n \geq N$，考虑函数 $f(x) = \sum_{k=n+1}^{m} a_k x^k$，它在 $[0, R]$ 上连续（因为多项式）。由已知不等式，对任意 $x \in [0, R)$ 有 $|f(x)| < \varepsilon$。令 $x \to R^-$，由连续性得 $|f(R)| \leq \varepsilon$，即
\[
\left| \sum_{k=n+1}^{m} a_k R^k \right| \leq \varepsilon.
\]
这说明级数在 $x=R$ 处满足柯西收敛准则，因此收敛。
公式：\left| \sum_{k=n+1}^{m} a_k R^k \right| \leq \varepsilon
提示：连续性保证了不等式在取极限后仍成立（注意严格不等号可能变为非严格）。
步骤 4/5
目标：同理将不等式延拓到左端点 $x=-R$
类似地，考虑 $x \in (-R, 0]$，多项式 $f(x) = \sum_{k=n+1}^{m} a_k x^k$ 在 $[-R, 0]$ 上连续。由已知不等式，对所有 $x \in (-R, 0]$ 有 $|f(x)| < \varepsilon$。令 $x \to -R^+$，由连续性得
\[
\left| \sum_{k=n+1}^{m} a_k (-R)^k \right| \leq \varepsilon.
\]
因此级数在 $x=-R$ 处也收敛。
公式：\left| \sum_{k=n+1}^{m} a_k (-R)^k \right| \leq \varepsilon
提示：注意 $(-R)^k$ 的符号交替，但绝对值不等式仍然成立。
步骤 5/5
目标：综合得到闭区间上的一致收敛性
由以上两步，对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N$，使得对所有 $m > n \geq N$ 以及所有 $x \in [-R, R]$，都有
\[
\left| \sum_{k=n+1}^{m} a_k x^k \right| \leq \varepsilon.
\]
（当 $x$ 在开区间内时不等式严格成立，在端点处由极限过程得到非严格不等式，但这对一致收敛的判定无影响。）根据函数项级数一致收敛的柯西准则，幂级数在闭区间 $[-R, R]$ 上一致收敛。
公式：\forall \varepsilon>0, \exists N, \forall m>n\geq N, \forall x\in[-R,R]: \left| \sum_{k=n+1}^{m} a_k x^k \right| \leq \varepsilon
提示：端点处的不等式是通过连续性从开区间内部延拓得到的，这是证明的关键步骤。
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