西北工业大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
一、计算题．
（1）求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n}\left(\frac{n+i}{n}\right) \sin \frac{i}{n^{2}}$ ．
（2）已知 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{x-a}{x+a}\right)^{x}=\int_{a}^{+\infty} x e^{-2 x} d x$ ，求 $a$ 的值．
（3）计算积分 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1+\tan ^{2024} x} d x$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：化简极限表达式中的通项
将原极限中的通项化简：
\[
\frac{n+i}{n} = 1 + \frac{i}{n}
\]
因此求和变为：
\[
\sum_{i=1}^n \left(1 + \frac{i}{n}\right) \sin\frac{i}{n^2}
\]
公式：\frac{n+i}{n} = 1 + \frac{i}{n}
提示：注意将复杂表达式拆分为简单部分，便于后续近似或积分处理。
步骤 2/8
目标：利用等价无穷小近似正弦函数
当 \(n\) 很大时，\(\frac{i}{n^2}\) 很小，故有等价无穷小：
\[
\sin\frac{i}{n^2} \sim \frac{i}{n^2}
\]
代入得：
\[
\left(1 + \frac{i}{n}\right) \sin\frac{i}{n^2} \sim \left(1 + \frac{i}{n}\right) \frac{i}{n^2} = \frac{i}{n^2} + \frac{i^2}{n^3}
\]
公式：\sin x \sim x \quad (x \to 0)
提示：等价无穷小替换时需确保误差为高阶无穷小，此处可证明余项不影响极限。
步骤 3/8
目标：将求和拆分为两个部分并计算极限
原和式近似为：
\[
\sum_{i=1}^n \frac{i}{n^2} + \sum_{i=1}^n \frac{i^2}{n^3}
\]
利用公式：
\[
\sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}, \quad \sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
\]
得：
\[
\frac{1}{n^2} \cdot \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n+1}{2n} \to \frac{1}{2}
\]
\[
\frac{1}{n^3} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2} \to \frac{1}{3}
\]
因此极限为 \(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}\)。
公式：\sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}, \quad \sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
提示：注意第二项极限不为0，需精确计算；也可用定积分定义验证。
步骤 4/8
目标：计算左边极限：转化为指数形式
左边极限为：
\[
\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{x-a}{x+a}\right)^x = \lim_{x \to +\infty} \left(1 - \frac{2a}{x+a}\right)^x
\]
取对数：
\[
\ln\left(\frac{x-a}{x+a}\right)^x = x \ln\left(1 - \frac{2a}{x+a}\right)
\]
当 \(x \to +\infty\) 时，\(\ln\left(1 - \frac{2a}{x+a}\right) \sim -\frac{2a}{x+a}\)，故：
\[
x \cdot \left(-\frac{2a}{x+a}\right) \to -2a
\]
因此左边极限为 \(e^{-2a}\)。
公式：\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{c}{x}\right)^x = e^c
提示：注意此处变量替换为 \(x+a\)，但极限结果相同；确保 \(a\) 为常数。
步骤 5/8
目标：计算右边积分：使用分部积分法
计算积分：
\[
\int_a^{+\infty} x e^{-2x} \, dx
\]
令 \(u = x\)，\(dv = e^{-2x} dx\)，则 \(du = dx\)，\(v = -\frac{1}{2} e^{-2x}\)。分部积分得：
\[
\int x e^{-2x} dx = -\frac{x}{2} e^{-2x} + \frac{1}{2} \int e^{-2x} dx = -\frac{x}{2} e^{-2x} - \frac{1}{4} e^{-2x}
\]
代入上下限：
\[
\int_a^{+\infty} = \lim_{b \to +\infty} \left[-\frac{x}{2} e^{-2x} - \frac{1}{4} e^{-2x}\right]_a^b = 0 - \left(-\frac{a}{2} e^{-2a} - \frac{1}{4} e^{-2a}\right) = e^{-2a}\left(\frac{a}{2} + \frac{1}{4}\right)
\]
公式：\int u \, dv = uv - \int v \, du
提示：注意当 \(x \to +\infty\) 时，\(x e^{-2x}\) 和 \(e^{-2x}\) 均趋于0，故上限代入为0。
步骤 6/8
目标：建立方程并求解参数 a
由已知条件：
\[
e^{-2a} = e^{-2a}\left(\frac{a}{2} + \frac{1}{4}\right)
\]
因为 \(e^{-2a} > 0\)，两边约去得：
\[
1 = \frac{a}{2} + \frac{1}{4}
\]
解得：
\[
\frac{a}{2} = \frac{3}{4} \quad \Rightarrow \quad a = \frac{3}{2}
\]
公式：1 = \frac{a}{2} + \frac{1}{4}
提示：约去公因子时需确保其不为0，此处 \(e^{-2a}\) 恒正。
步骤 7/8
目标：利用对称性化简积分
设 \(I = \int_0^{\pi/2} \frac{1}{1+\tan^{2024} x} \, dx\)。作变量代换 \(x = \frac{\pi}{2} - t\)，则 \(dx = -dt\)，积分限变为 \(t\) 从 \(\pi/2\) 到 \(0\)，故：
\[
I = \int_{\pi/2}^0 \frac{1}{1+\tan^{2024}(\pi/2 - t)} (-dt) = \int_0^{\pi/2} \frac{1}{1+\cot^{2024} t} \, dt
\]
利用 \(\cot t = 1/\tan t\)，得：
\[
\frac{1}{1+\cot^{2024} t} = \frac{\tan^{2024} t}{1+\tan^{2024} t}
\]
因此：
\[
I = \int_0^{\pi/2} \frac{\tan^{2024} x}{1+\tan^{2024} x} \, dx
\]
公式：\tan(\pi/2 - x) = \cot x
提示：对称性代换是处理此类含高次幂三角函数的常用技巧。
步骤 8/8
目标：将两个积分相加求解
将原积分与新积分相加：
\[
2I = \int_0^{\pi/2} \left( \frac{1}{1+\tan^{2024} x} + \frac{\tan^{2024} x}{1+\tan^{2024} x} \right) dx = \int_0^{\pi/2} 1 \, dx = \frac{\pi}{2}
\]
因此：
\[
I = \frac{\pi}{4}
\]
公式：\frac{1}{1+u} + \frac{u}{1+u} = 1
提示：注意被积函数之和恒为1，这是解题关键。
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