📝 西北工业大学 2024年数学分析真题
第0题
一、计算题．
（1）求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n}\left(\frac{n+i}{n}\right) \sin \frac{i}{n^{2}}$ ．
（2）已知 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{x-a}{x+a}\right)^{x}=\int_{a}^{+\infty} x e^{-2 x} d x$ ，求 $a$ 的值．
（3）计算积分 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1+\tan ^{2024} x} d x$ ．
（1）求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n}\left(\frac{n+i}{n}\right) \sin \frac{i}{n^{2}}$ ．
（2）已知 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{x-a}{x+a}\right)^{x}=\int_{a}^{+\infty} x e^{-2 x} d x$ ，求 $a$ 的值．
（3）计算积分 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1+\tan ^{2024} x} d x$ ．
第0题
七、设 $\displaystyle f(x) \in C(-\infty,+\infty)$ ，定义函数列 $\displaystyle f_{n}(x)=\sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{n} f\left(x+\frac{k}{n}\right), n=1,2, \cdots$ ，证明：函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上内闭一致收敛于 $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x+t) d t$ ．
第0题
三、解答如下问题：
（1）设正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫，$\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 是单调数列，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0$ ．
（2）已知 $\displaystyle A_{n}=\sum_{k=1}^{n} a_{k}$ 且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} A_{n}$ 存在，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{1}+2 a_{2}+\cdots+n a_{n}}{n}=0$ ．
（1）设正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫，$\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 是单调数列，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0$ ．
（2）已知 $\displaystyle A_{n}=\sum_{k=1}^{n} a_{k}$ 且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} A_{n}$ 存在，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{1}+2 a_{2}+\cdots+n a_{n}}{n}=0$ ．
第0题
二、证明 $\displaystyle f(x)=\sin x^{2}$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上不一致连续．
第0题
五、解答如下问题．
（1）讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n}{p^{\ln n}}(p>0)$ 的玫散性；
（2）求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{n} \frac{n^{2}}{(n+1)!} x^{n}$ 的收敛域与和函数；
（3）设 $f$ 是以 $\displaystyle 2 \pi$ 为周期且在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 二阶连续可导的函数，证明：$f$ 的傅里叶级数在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$上一致收敛于 $f$ ．
（1）讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n}{p^{\ln n}}(p>0)$ 的玫散性；
（2）求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{n} \frac{n^{2}}{(n+1)!} x^{n}$ 的收敛域与和函数；
（3）设 $f$ 是以 $\displaystyle 2 \pi$ 为周期且在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 二阶连续可导的函数，证明：$f$ 的傅里叶级数在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$上一致收敛于 $f$ ．
第0题
六、解答如下问题．
（1）讨论反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\ln ^{m}(1+x)}{1+x^{n}} d x(n \geq 0)$ 的玫散性．
（2）求积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\cos a x-\cos b x}{x} d x$ ，其中 $\displaystyle 0<a<b$ ．
（3）设 $\displaystyle F(z)=\iint_{x^{2}+y^{2} \leq z^{2}} f\left(x^{2}+y^{2}\right) d x d y, f(0)=1$ 且 $f$ 连续可导，求 $\displaystyle F^{\prime \prime}(0)$ ．
（1）讨论反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\ln ^{m}(1+x)}{1+x^{n}} d x(n \geq 0)$ 的玫散性．
（2）求积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\cos a x-\cos b x}{x} d x$ ，其中 $\displaystyle 0<a<b$ ．
（3）设 $\displaystyle F(z)=\iint_{x^{2}+y^{2} \leq z^{2}} f\left(x^{2}+y^{2}\right) d x d y, f(0)=1$ 且 $f$ 连续可导，求 $\displaystyle F^{\prime \prime}(0)$ ．
第0题
四、设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，在 $\displaystyle (0,1)$ 上可导，且 $\displaystyle f(0)=0, f(1)=1$ ．
（1）证明：存在互异的 $\displaystyle \eta_{1}, \eta_{2} \in(0,1)$ ，满足 $\displaystyle \frac{1}{f^{\prime}\left(\eta_{1}\right)}+\frac{1}{f^{\prime}\left(\eta_{2}\right)}=2$ ；
（2）$\displaystyle a, b$ 为任意正实数，证明：存在互异的 $\displaystyle \xi_{1}, \xi_{2} \in(0,1)$ ，满足 $\displaystyle \frac{a}{f^{\prime}\left(\xi_{1}\right)}+\frac{b}{f^{\prime}\left(\xi_{2}\right)}=a+b$ ．
（1）证明：存在互异的 $\displaystyle \eta_{1}, \eta_{2} \in(0,1)$ ，满足 $\displaystyle \frac{1}{f^{\prime}\left(\eta_{1}\right)}+\frac{1}{f^{\prime}\left(\eta_{2}\right)}=2$ ；
（2）$\displaystyle a, b$ 为任意正实数，证明：存在互异的 $\displaystyle \xi_{1}, \xi_{2} \in(0,1)$ ，满足 $\displaystyle \frac{a}{f^{\prime}\left(\xi_{1}\right)}+\frac{b}{f^{\prime}\left(\xi_{2}\right)}=a+b$ ．