西北工业大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
七、设 $\displaystyle f(x) \in C(-\infty,+\infty)$ ，定义函数列 $\displaystyle f_{n}(x)=\sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{n} f\left(x+\frac{k}{n}\right), n=1,2, \cdots$ ，证明：函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上内闭一致收敛于 $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x+t) d t$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确要证明的结论
已知函数列 $f_n(x) = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{n} f\left(x + \frac{k}{n}\right)$，其中 $f(x) \in C(-\infty, +\infty)$。要证明：对任意闭区间 $[a,b]$，当 $n \to \infty$ 时，$f_n(x)$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛于 $\int_0^1 f(x+t)\, dt$，即内闭一致收敛。
公式：f_n(x) = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{n} f\left(x + \frac{k}{n}\right), \quad \int_0^1 f(x+t)\, dt
提示：注意内闭一致收敛的含义：在任意有界闭区间上一致收敛。
步骤 2/6
目标：将目标函数改写为积分和形式
注意到 $\int_0^1 f(x+t)\, dt$ 是函数 $g(t)=f(x+t)$ 在 $[0,1]$ 上的积分。将区间 $[0,1]$ 分成 $n$ 等分，每个小区间长度为 $1/n$，取左端点 $t_k = k/n$，则黎曼和为 $\sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{n} f\left(x + \frac{k}{n}\right)$，这正是 $f_n(x)$。因此 $f_n(x)$ 是积分的一个近似。
公式：\int_0^1 f(x+t)\, dt = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{n} f\left(x + \frac{k}{n}\right)
提示：黎曼和取左端点，但右端点或中点也可，不影响极限。
步骤 3/6
目标：写出差值的表达式
令 $F_n(x) = f_n(x) - \int_0^1 f(x+t)\, dt$，则
\[
F_n(x) = \sum_{k=0}^{n-1} \int_{k/n}^{(k+1)/n} \left[ f\left(x+\frac{k}{n}\right) - f(x+t) \right] dt
\]
因为 $\int_{k/n}^{(k+1)/n} f\left(x+\frac{k}{n}\right) dt = \frac{1}{n} f\left(x+\frac{k}{n}\right)$，而 $\int_{k/n}^{(k+1)/n} f(x+t)\, dt$ 是积分在小区间上的部分。
公式：F_n(x) = \sum_{k=0}^{n-1} \int_{k/n}^{(k+1)/n} \left[ f\left(x+\frac{k}{n}\right) - f(x+t) \right] dt
提示：注意积分区间的划分与求和指标对应。
步骤 4/6
目标：利用连续性得到一致估计
由于 $f$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续，则在任意闭区间上一致连续。取定闭区间 $[a,b]$，当 $x \in [a,b]$ 且 $t \in [0,1]$ 时，$x+t \in [a, b+1]$，这是一个闭区间，所以 $f$ 在 $[a, b+1]$ 上一致连续。即对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，只要 $|u - v| < \delta$，就有 $|f(u)-f(v)| < \varepsilon$。
公式：\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall u,v \in [a,b+1], |u-v|<\delta \Rightarrow |f(u)-f(v)|<\varepsilon
提示：一致连续性是关键，确保估计与 $x$ 无关。
步骤 5/6
目标：对差值进行放缩
对于固定的 $x \in [a,b]$，有
\[
|F_n(x)| \le \sum_{k=0}^{n-1} \int_{k/n}^{(k+1)/n} \left| f\left(x+\frac{k}{n}\right) - f(x+t) \right| dt
\]
在小区间 $t \in [k/n, (k+1)/n]$ 上，$\left| \left(x+\frac{k}{n}\right) - (x+t) \right| = \left| \frac{k}{n} - t \right| \le \frac{1}{n}$。取 $N$ 使得 $1/N < \delta$，则当 $n > N$ 时，对任意 $k$ 和 $t$ 有 $\left| f\left(x+\frac{k}{n}\right) - f(x+t) \right| < \varepsilon$。于是
\[
|F_n(x)| \le \sum_{k=0}^{n-1} \int_{k/n}^{(k+1)/n} \varepsilon \, dt = \varepsilon \cdot 1 = \varepsilon
\]
该估计对一切 $x \in [a,b]$ 同时成立。
公式：|F_n(x)| \le \varepsilon, \quad \forall x \in [a,b], \forall n > N
提示：放缩时注意 $\varepsilon$ 的任意性，且 $N$ 只依赖于 $\delta$ 和 $[a,b]$，与 $x$ 无关。
步骤 6/6
目标：得出结论
由以上推导，对任意闭区间 $[a,b]$，函数列 $\{f_n(x)\}$ 一致收敛到 $\int_0^1 f(x+t)\, dt$。根据内闭一致收敛的定义，函数列 $\{f_n(x)\}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上内闭一致收敛于 $\int_0^1 f(x+t)\, dt$。
公式：f_n(x) \rightrightarrows \int_0^1 f(x+t)\, dt \quad \text{on } [a,b]
提示：内闭一致收敛即任意闭区间上一致收敛。
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