西北工业大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
六、解答如下问题．
（1）讨论反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\ln ^{m}(1+x)}{1+x^{n}} d x(n \geq 0)$ 的玫散性．
（2）求积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\cos a x-\cos b x}{x} d x$ ，其中 $\displaystyle 0<a<b$ ．
（3）设 $\displaystyle F(z)=\iint_{x^{2}+y^{2} \leq z^{2}} f\left(x^{2}+y^{2}\right) d x d y, f(0)=1$ 且 $f$ 连续可导，求 $\displaystyle F^{\prime \prime}(0)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析反常积分在x→0⁺的敛散性
当 $x \to 0^+$ 时，$\ln(1+x) \sim x$，因此被积函数 $\frac{\ln^m(1+x)}{1+x^n} \sim \frac{x^m}{1}=x^m$。积分 $\int_0^\delta x^m dx$ 收敛当且仅当 $m > -1$。
公式：$\ln(1+x) \sim x \ (x\to 0^+)$
提示：注意 $1+x^n \to 1$，分母不影响局部行为。
步骤 2/6
目标：分析反常积分在x→+∞的敛散性
当 $x \to +\infty$ 时，$\ln(1+x) \sim \ln x$，分母 $1+x^n \sim x^n$，因此被积函数 $\sim \frac{(\ln x)^m}{x^n}$。对于无穷远处的积分 $\int^{\infty} \frac{(\ln x)^m}{x^n} dx$：若 $n>1$，则对任意实数 $m$ 收敛；若 $n=1$，则积分化为 $\int^{\infty} \frac{(\ln x)^m}{x} dx$，其收敛当且仅当 $m<-1$；若 $0 \le n < 1$，则发散。
公式：$\frac{\ln^m(1+x)}{1+x^n} \sim \frac{(\ln x)^m}{x^n} \ (x\to +\infty)$
提示：对数增长慢于任何幂次，因此 $n>1$ 时绝对收敛。
步骤 3/6
目标：综合两点得出反常积分的敛散性结论
在 $x=0$ 处要求 $m>-1$，在无穷远处要求 $n>1$（此时对任意 $m$ 收敛）或 $n=1$ 且 $m<-1$。但 $m>-1$ 与 $m<-1$ 不能同时成立，故 $n=1$ 时发散。因此积分收敛当且仅当 $n>1$ 且 $m>-1$。
公式：收敛条件：$n>1$ 且 $m>-1$
提示：注意 $n=1$ 时无穷远处与0点条件冲突，导致发散。
步骤 4/6
目标：利用Frullani积分公式或直接推导求解第二问
考虑积分 $I = \int_0^{+\infty} \frac{\cos ax - \cos bx}{x} dx$。利用公式 $\int_0^\infty \frac{\cos(\alpha x)-\cos(\beta x)}{x} dx = \ln\frac{\beta}{\alpha}$（$\alpha,\beta>0$），或通过积分次序交换：$\int_0^\infty \frac{\cos ax - \cos bx}{x} dx = \int_0^\infty \int_a^b \sin(tx) dt \frac{dx}{x} = \int_a^b \left(\int_0^\infty \frac{\sin(tx)}{x} dx\right) dt = \int_a^b \frac{\pi}{2} dt$？注意标准结果为 $\ln(b/a)$。更严谨地，可考虑 $\int_0^\infty e^{-sx} \frac{\cos ax - \cos bx}{x} dx$ 再令 $s\to 0^+$，得到 $\ln(b/a)$。
公式：$\int_0^{+\infty} \frac{\cos ax - \cos bx}{x} dx = \ln\frac{b}{a}$
提示：注意 $\lim_{t\to\infty}\cos t$ 不存在，但Frullani型积分仍可用极限处理。
步骤 5/6
目标：将第三问的二重积分化为极坐标形式
令 $x=r\cos\theta, y=r\sin\theta$，则 $dxdy = r dr d\theta$，积分区域 $x^2+y^2 \le z^2$ 对应 $0 \le r \le |z|, 0 \le \theta \le 2\pi$。于是 $F(z) = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{|z|} f(r^2) r dr = 2\pi \int_0^{|z|} r f(r^2) dr$。
公式：$F(z) = 2\pi \int_0^{|z|} r f(r^2) dr$
提示：注意 $z$ 可正可负，$F(z)$ 是 $|z|$ 的偶函数。
步骤 6/6
目标：对F(z)求导并计算F''(0)
设 $z \ge 0$，则 $F(z) = 2\pi \int_0^z r f(r^2) dr$。求导得 $F'(z) = 2\pi z f(z^2)$。再求导：$F''(z) = 2\pi [f(z^2) + z \cdot f'(z^2) \cdot 2z] = 2\pi [f(z^2) + 2z^2 f'(z^2)]$。代入 $z=0$，利用 $f(0)=1$，得 $F''(0) = 2\pi \cdot 1 = 2\pi$。
公式：$F''(0) = 2\pi$
提示：注意 $f$ 连续可导，求导时使用链式法则。
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