西北工业大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
二、证明 $\displaystyle f(x)=\sin x^{2}$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上不一致连续．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：回顾一致连续的定义
函数 $f$ 在区间 $I$ 上一致连续，是指：
$$\forall \varepsilon > 0, \ \exists \delta > 0, \ \forall x_1, x_2 \in I, \ |x_1 - x_2| < \delta \Rightarrow |f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon.$$ 要证明不一致连续，只需找到某个固定的 $\varepsilon_0 > 0$，使得对任意小的 $\delta > 0$，都能找到两点 $x_1, x_2$ 满足 $|x_1 - x_2| < \delta$ 但 $|f(x_1)-f(x_2)| \ge \varepsilon_0$。
公式：$$\forall \varepsilon > 0, \ \exists \delta > 0, \ \forall x_1, x_2 \in I, \ |x_1 - x_2| < \delta \Rightarrow |f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon$$
提示：注意一致连续与逐点连续的区别：一致连续的 $\delta$ 只依赖于 $\varepsilon$，不依赖于点的位置。
步骤 2/5
目标：构造合适的点列
对于 $f(x)=\sin(x^2)$，其导数 $f'(x)=2x\cos(x^2)$ 的绝对值随 $|x|$ 增大而增大，表明振荡加快。取点列：
$$x_n = \sqrt{n\pi}, \quad y_n = \sqrt{n\pi + \frac{\pi}{2}}.$$
则
$$f(x_n) = \sin(n\pi) = 0, \quad f(y_n) = \sin\left(n\pi + \frac{\pi}{2}\right) = (-1)^n.$$
因此 $|f(x_n) - f(y_n)| = 1$。
公式：$$x_n = \sqrt{n\pi}, \quad y_n = \sqrt{n\pi + \frac{\pi}{2}}$$
提示：选择点列时，应使函数值差为常数（如1），以便固定 $\varepsilon_0$。
步骤 3/5
目标：估计两点之间的距离
计算 $|y_n - x_n|$：
$$|y_n - x_n| = \sqrt{n\pi + \frac{\pi}{2}} - \sqrt{n\pi}.$$
利用恒等式 $\sqrt{a+h} - \sqrt{a} = \frac{h}{\sqrt{a+h}+\sqrt{a}}$，令 $a=n\pi$，$h=\frac{\pi}{2}$，得
$$|y_n - x_n| = \frac{\frac{\pi}{2}}{\sqrt{n\pi + \frac{\pi}{2}} + \sqrt{n\pi}}.$$
当 $n \to \infty$ 时，分母 $\sim 2\sqrt{n\pi}$，故
$$|y_n - x_n| \sim \frac{\pi/2}{2\sqrt{n\pi}} = \frac{\sqrt{\pi}}{4\sqrt{n}} \to 0.$$
公式：$$|y_n - x_n| = \frac{\frac{\pi}{2}}{\sqrt{n\pi + \frac{\pi}{2}} + \sqrt{n\pi}} \sim \frac{\sqrt{\pi}}{4\sqrt{n}}$$
提示：利用有理化技巧化简根式差，并注意渐近估计时忽略低阶项。
步骤 4/5
目标：构造不一致连续的证明
取 $\varepsilon_0 = 1$。对任意给定的 $\delta > 0$，由于 $|y_n - x_n| \to 0$，存在 $N$ 使得当 $n > N$ 时，$|y_n - x_n| < \delta$。此时
$$|f(y_n) - f(x_n)| = 1 \ge \varepsilon_0.$$
因此，不存在一个统一的 $\delta$ 能适用于所有点，函数在 $\mathbb{R}$ 上不一致连续。
公式：$$\forall \delta > 0, \ \exists n \text{ 充分大}, \ |y_n - x_n| < \delta \text{ 但 } |f(y_n)-f(x_n)| = 1 \ge \varepsilon_0$$
提示：注意 $\varepsilon_0$ 必须固定且与 $\delta$ 无关，这里取1即可。
步骤 5/5
目标：得出结论
函数 $f(x) = \sin(x^2)$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 上不一致连续。
公式：无
提示：证明不一致连续的关键是找到一对点列，其距离趋于0但函数值差不趋于0。
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