西北工业大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
四、设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，在 $\displaystyle (0,1)$ 上可导，且 $\displaystyle f(0)=0, f(1)=1$ ．
（1）证明：存在互异的 $\displaystyle \eta_{1}, \eta_{2} \in(0,1)$ ，满足 $\displaystyle \frac{1}{f^{\prime}\left(\eta_{1}\right)}+\frac{1}{f^{\prime}\left(\eta_{2}\right)}=2$ ；
（2）$\displaystyle a, b$ 为任意正实数，证明：存在互异的 $\displaystyle \xi_{1}, \xi_{2} \in(0,1)$ ，满足 $\displaystyle \frac{a}{f^{\prime}\left(\xi_{1}\right)}+\frac{b}{f^{\prime}\left(\xi_{2}\right)}=a+b$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：第一问：构造辅助函数并应用中值定理
任取 $t \in (0,1)$，在区间 $[0,t]$ 和 $[t,1]$ 上分别应用拉格朗日中值定理：存在 $\eta_1 \in (0,t)$ 使得 $f'(\eta_1) = \frac{f(t)-f(0)}{t-0} = \frac{f(t)}{t}$；存在 $\eta_2 \in (t,1)$ 使得 $f'(\eta_2) = \frac{f(1)-f(t)}{1-t} = \frac{1-f(t)}{1-t}$。于是 $\frac{1}{f'(\eta_1)} + \frac{1}{f'(\eta_2)} = \frac{t}{f(t)} + \frac{1-t}{1-f(t)}$。定义函数 $h(t) = \frac{t}{f(t)} + \frac{1-t}{1-f(t)}$，$t \in (0,1)$。
公式：$\frac{1}{f'(\eta_1)} + \frac{1}{f'(\eta_2)} = \frac{t}{f(t)} + \frac{1-t}{1-f(t)}$
提示：注意 $\eta_1$ 和 $\eta_2$ 分别属于不同的子区间，因此它们互异。
步骤 2/5
目标：第一问：分析辅助函数的取值并利用介值定理
考虑 $t = \frac{1}{2}$ 时，$h(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2f(1/2)} + \frac{1}{2(1-f(1/2))} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{f(1/2)} + \frac{1}{1-f(1/2)}\right)$。由均值不等式，$\frac{1}{u} + \frac{1}{1-u} \ge 4$（$u = f(1/2)$），故 $h(\frac{1}{2}) \ge 2$。当 $t \to 0^+$ 时，$f(t) \to 0$，$h(t) \to +\infty$；当 $t \to 1^-$ 时，$h(t) \to +\infty$。若 $h(\frac{1}{2}) = 2$，则取 $t = \frac{1}{2}$ 即得；若 $h(\frac{1}{2}) > 2$，由介值定理，存在 $t_0 \in (0, \frac{1}{2})$ 使得 $h(t_0) = 2$，从而得到互异的 $\eta_1, \eta_2$。
公式：$h(t) = \frac{t}{f(t)} + \frac{1-t}{1-f(t)}$，$h(\frac{1}{2}) \ge 2$
提示：注意 $f(t)$ 在 $t=0$ 和 $t=1$ 附近的行为导致 $h(t)$ 趋于无穷，这是应用介值定理的关键。
步骤 3/5
目标：第二问：构造类似辅助函数并引入参数
对任意正实数 $a, b$，取 $t \in (0,1)$，同样在 $[0,t]$ 和 $[t,1]$ 上应用中值定理得 $f'(\xi_1) = \frac{f(t)}{t}$，$f'(\xi_2) = \frac{1-f(t)}{1-t}$。于是 $\frac{a}{f'(\xi_1)} + \frac{b}{f'(\xi_2)} = a \cdot \frac{t}{f(t)} + b \cdot \frac{1-t}{1-f(t)}$。定义 $H(t) = a \cdot \frac{t}{f(t)} + b \cdot \frac{1-t}{1-f(t)}$。
公式：$H(t) = a \cdot \frac{t}{f(t)} + b \cdot \frac{1-t}{1-f(t)}$
提示：此处的构造与第一问类似，只是系数变为 $a$ 和 $b$。
步骤 4/5
目标：第二问：选取特殊点并利用加权不等式
取 $t_0 = \frac{a}{a+b}$，则 $H(t_0) = a \cdot \frac{a/(a+b)}{f(t_0)} + b \cdot \frac{b/(a+b)}{1-f(t_0)} = \frac{a^2}{(a+b)f(t_0)} + \frac{b^2}{(a+b)(1-f(t_0))}$。由柯西不等式或加权均值不等式，$\frac{a^2}{p} + \frac{b^2}{q} \ge \frac{(a+b)^2}{p+q}$，取 $p = f(t_0)$，$q = 1-f(t_0)$，得 $H(t_0) \ge \frac{1}{a+b} \cdot \frac{(a+b)^2}{f(t_0)+1-f(t_0)} = a+b$。
公式：$H(t_0) \ge a+b$，等号当且仅当 $\frac{a}{f(t_0)} = \frac{b}{1-f(t_0)}$
提示：特殊点 $t_0 = \frac{a}{a+b}$ 的选择是为了使不等式形式对称。
步骤 5/5
目标：第二问：应用介值定理完成证明
当 $t \to 0^+$ 时，$f(t) \to 0$，$H(t) \to +\infty$；当 $t \to 1^-$ 时，$H(t) \to +\infty$。若 $H(t_0) = a+b$，则取 $t = t_0$ 即得互异的 $\xi_1, \xi_2$；若 $H(t_0) > a+b$，由介值定理，存在 $t \in (0, t_0)$ 使得 $H(t) = a+b$，从而得到所需两点。
公式：介值定理：$H(t)$ 在 $(0, t_0)$ 上连续且 $\lim_{t\to 0^+} H(t) = +\infty$，$H(t_0) \ge a+b$
提示：注意 $H(t)$ 在 $t=0$ 和 $t=1$ 附近无定义但趋于无穷，不影响介值定理的应用。
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