西北工业大学 2024年数学分析第0题

已知正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，且 $\{a_n\}$ 单调。由于 $a_n > 0$ 且级数收敛，单调性只能是单调递减（否则若递增，则 $a_n$ 有正下界，级数发散）。对任意 $\varepsilon > 0$，由柯西收敛准则，存在 $N$，当 $m > n > N$ 时，$\sum_{k=n+1}^{m} a_k < \varepsilon$。取 $m = 2n$，则当 $n > N$ 时，$\sum_{k=n+1}^{2n} a_k < \varepsilon$。由单调递减性，$a_k \ge a_{2n}$ 对 $k = n+1, \dots, 2n$ 成立，故 $n \cdot a_{2n} \le \sum_{k=n+1}^{2n} a_k < \varepsilon$，从而 $2n a_{2n} < 2\varepsilon$，即 $\lim_{n \to \infty} (2n)a_{2n} = 0$。对任意 $n$，存在 $m$ 使得 $m \le n < 2m$，由单调性 $n a_n \le 2m a_m$，而 $m a_m \to 0$，故 $\lim_{n \to \infty} n a_n = 0$。

由 $2n a_{2n} \to 0$ 知子列 $\{2n a_{2n}\}$ 趋于0。对任意 $n$，取 $m = \lfloor n/2 \rfloor$，则 $m \le n < 2m$，由单调递减性 $a_n \le a_m$，故 $n a_n \le 2m a_m$。由于 $m a_m \to 0$，得 $n a_n \to 0$。

已知 $A_n = \sum_{k=1}^n a_k$，且 $\lim_{n \to \infty} A_n = A$ 存在有限。记 $S_n = \sum_{k=1}^n k a_k$，利用阿贝尔变换（分部求和）：令 $A_0 = 0$，则 $a_k = A_k - A_{k-1}$，于是 $S_n = \sum_{k=1}^n k (A_k - A_{k-1}) = n A_n - \sum_{k=1}^{n-1} A_k$。因此 $\frac{S_n}{n} = A_n - \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n-1} A_k$。

由于 $\lim_{n \to \infty} A_n = A$，由柯西第一极限定理（算术平均收敛于同一极限），有 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n-1} A_k = A$。于是 $\lim_{n \to \infty} \frac{S_n}{n} = \lim_{n \to \infty} A_n - \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n-1} A_k = A - A = 0$。