西北工业大学 2025年数学分析第10题
📝 题目
10．（5 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，非负且严格单调递增，由积分中值定理，对任意的正整数 $k$ ，存在 $\displaystyle x_{k} \in[a, b]$ ，使得
$$
f^{k}\left(x_{k}\right)=\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f^{k}(x) \mathrm{d} x
$$
证明： $\displaystyle \lim _{k \rightarrow \infty} x_{k}=b$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：理解已知条件并建立基本不等式
由积分中值定理，对每个正整数 $k$，存在 $x_k \in [a,b]$ 使得 $f^k(x_k) = \frac{1}{b-a} \int_a^b f^k(x) \, dx$。由于 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续、非负且严格单调递增，因此 $f(a) \le f(x) \le f(b)$，且当 $x < b$ 时 $f(x) < f(b)$。
公式：$f^k(x_k) = \frac{1}{b-a} \int_a^b f^k(x) \, dx$
提示：注意 $f$ 严格单调递增意味着 $f^k$ 也严格单调递增，这是后续比较 $x_k$ 与 $b$ 的关键。
步骤 2/4
目标：证明序列 $x_k$ 有上界 $b$
对积分进行上界估计：$\int_a^b f^k(x) \, dx \le \int_a^b f^k(b) \, dx = (b-a) f^k(b)$。代入中值定理得 $f^k(x_k) \le f^k(b)$。由于 $f^k$ 严格递增，可得 $x_k \le b$，即序列 $\{x_k\}$ 有上界 $b$。
公式：$f^k(x_k) \le f^k(b) \Rightarrow x_k \le b$
提示：这里利用了 $f^k$ 的单调性，注意 $f^k(b)$ 是最大值。
步骤 3/4
目标：反证法：假设 $x_k$ 不趋近于 $b$ 导出矛盾
假设存在 $\delta > 0$ 使得 $x_k \le b-\delta$ 对无穷多个 $k$ 成立。令 $r = \frac{f(b-\delta)}{f(b)} < 1$，则 $f^k(x_k) \le f^k(b-\delta) = r^k f^k(b)$。另一方面，考虑积分下界：在区间 $[b-\delta/2, b]$ 上，$f(x) \ge f(b-\delta/2) > f(b-\delta)$，令 $s = \frac{f(b-\delta/2)}{f(b)}$，则 $s > r$ 且 $s < 1$。于是 $\int_a^b f^k(x) \, dx \ge \frac{\delta}{2} f^k(b-\delta/2) = \frac{\delta}{2} s^k f^k(b)$。代入中值定理得 $f^k(x_k) \ge \frac{\delta}{2(b-a)} s^k f^k(b)$。
公式：$r^k f^k(b) \ge f^k(x_k) \ge \frac{\delta}{2(b-a)} s^k f^k(b)$
提示：注意 $r$ 和 $s$ 的选取：$r$ 对应 $b-\delta$，$s$ 对应 $b-\delta/2$，且 $0 < r < s < 1$。
步骤 4/4
目标：推导矛盾并得出结论
由上述不等式约去 $f^k(b) > 0$ 得 $r^k \ge \frac{\delta}{2(b-a)} s^k$，即 $\left(\frac{r}{s}\right)^k \ge \frac{\delta}{2(b-a)}$。由于 $0 < \frac{r}{s} < 1$，左边当 $k \to \infty$ 时趋于 $0$，而右边是正常数，矛盾。因此假设不成立，即对任意 $\delta > 0$，只有有限个 $k$ 使得 $x_k \le b-\delta$，故当 $k$ 充分大时 $x_k > b-\delta$。结合 $x_k \le b$，得 $\lim_{k \to \infty} x_k = b$。
公式：$\left(\frac{r}{s}\right)^k \ge \frac{\delta}{2(b-a)}$ 导致矛盾
提示：核心是利用指数衰减与常数的不等式矛盾，注意 $r/s < 1$ 是关键。
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