📝 西北工业大学 2025年数学分析真题

1．（20分）用极限的严格数学定义证明：
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow-\infty} \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)=0$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{e^{n}}{n!}=0$ ．

2．（20分）解答如下问题：
（1）求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x^{x}-x^{\sin x}}{x^{2}}$ ．
（2）求级数的和 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(n-1) 3^{n}}$ ．

3．（15分）试用确界原理证明有限覆盖定理．

4．（15 分）证明：若 $f$ 是区间 $\displaystyle [a, b]$ 上只有有限个间断点的有界函数，则 $f$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上黎曼可积．

5．（15 分）计算 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\cos a x-\cos b x}{x^{2}} \mathrm{~d} x$ ，其中 $\displaystyle b>a>0$ ．

6．（15 分）设 $n$ 为正整数，$\displaystyle x, y>0$ ，用条件极值方法证明 $\displaystyle \frac{x^{n}+y^{n}}{2} \geq\left(\frac{x+y}{2}\right)^{n}$

7．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续，证明：存在 $\displaystyle a, b>0$ 使得 $\displaystyle |f(x)| \leq a|x|+b$ ．

8．（15 分）计算曲面积分

$$
I=\iint_{S} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\sqrt{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3}}}
$$

其中 $S$ 为曲面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{3}+\frac{z^{2}}{4}=1$ ，取其外侧．

9．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 是定义在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上的凸函数且有上界，证明：$\displaystyle f(x)$ 是常数．

10．（5 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，非负且严格单调递增，由积分中值定理，对任意的正整数 $k$ ，存在 $\displaystyle x_{k} \in[a, b]$ ，使得

$$
f^{k}\left(x_{k}\right)=\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f^{k}(x) \mathrm{d} x
$$

证明： $\displaystyle \lim _{k \rightarrow \infty} x_{k}=b$ ．