西北工业大学 2025年数学分析第2题
📝 题目
2．（20分）解答如下问题：
（1）求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x^{x}-x^{\sin x}}{x^{2}}$ ．
（2）求级数的和 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(n-1) 3^{n}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：将指数形式转化为e的幂形式
将 $x^x$ 和 $x^{\sin x}$ 分别写为 $e^{x\ln x}$ 和 $e^{\sin x\ln x}$，则分子为 $e^{x\ln x} - e^{\sin x\ln x}$。
公式：x^x = e^{x\ln x}, \quad x^{\sin x} = e^{\sin x\ln x}
提示：注意 $x\to 0^+$ 时 $\ln x \to -\infty$，但 $x\ln x \to 0$，因此两个指数都趋于1。
步骤 2/8
目标：利用等价无穷小简化分子
当 $u,v\to 0$ 时，$e^u - e^v \sim e^v(u-v)$。取 $v = \sin x\ln x$，则 $x^x - x^{\sin x} \sim e^{\sin x\ln x}(x\ln x - \sin x\ln x)$。由于 $e^{\sin x\ln x}\to 1$，原极限等价于 $\displaystyle \lim_{x\to 0^+} \frac{(x-\sin x)\ln x}{x^2}$。
公式：e^u - e^v \sim e^v(u-v)
提示：注意提取公因式后，$e^{\sin x\ln x}$ 的极限为1，可以忽略。
步骤 3/8
目标：展开 $x-\sin x$ 并代入
利用 $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$，得 $x-\sin x \sim \frac{x^3}{6}$。代入极限得 $\displaystyle \lim_{x\to 0^+} \frac{\frac{x^3}{6}\ln x}{x^2} = \frac{1}{6}\lim_{x\to 0^+} x\ln x$。
公式：x-\sin x \sim \frac{x^3}{6}
提示：注意 $x-\sin x$ 是 $x^3$ 阶的，而分母是 $x^2$，所以剩下 $x\ln x$。
步骤 4/8
目标：计算经典极限并得到结果
已知 $\displaystyle \lim_{x\to 0^+} x\ln x = 0$，因此原极限为 $\frac{1}{6}\times 0 = 0$。
公式：\lim_{x\to 0^+} x\ln x = 0
提示：这是常用极限，可通过洛必达法则或变量替换 $t=1/x$ 证明。
步骤 5/8
目标：对级数通项进行裂项
利用 $\displaystyle \frac{1}{n(n-1)} = \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}$，得 $\displaystyle \frac{1}{n(n-1)3^n} = \frac{1}{(n-1)3^n} - \frac{1}{n3^n}$。进一步改写为 $\displaystyle \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{(n-1)3^{n-1}} - \frac{1}{n3^n}$。
公式：\frac{1}{n(n-1)} = \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}
提示：裂项后注意调整指数，使前后形式一致便于求和。
步骤 6/8
目标：写出部分和并化简
设 $S_N = \sum_{n=2}^N \left( \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{(n-1)3^{n-1}} - \frac{1}{n3^n} \right)$。令第一个和式中 $k=n-1$，则 $S_N = \frac{1}{3}\sum_{k=1}^{N-1}\frac{1}{k3^k} - \sum_{n=2}^N\frac{1}{n3^n}$。
公式：S_N = \frac{1}{3}\sum_{k=1}^{N-1}\frac{1}{k3^k} - \sum_{n=2}^N\frac{1}{n3^n}
提示：注意求和指标的变化，避免遗漏项。
步骤 7/8
目标：合并同类项并取极限
将第一个和拆出 $k=1$ 项 $\frac{1}{9}$，剩余部分与第二个和合并：$S_N = \frac{1}{9} - \frac{2}{3}\sum_{k=2}^{N-1}\frac{1}{k3^k} - \frac{1}{N3^N}$。令 $N\to\infty$，最后一项趋于0，且 $\sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{k3^k} = \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k3^k} - \frac{1}{3}$。
公式：\sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^k}{k} = -\ln(1-x),\quad |x|<1
提示：利用已知的幂级数求和公式，注意 $x=1/3$ 时收敛。
步骤 8/8
目标：计算最终结果
由 $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k3^k} = -\ln(1-\frac{1}{3}) = \ln\frac{3}{2}$，得 $\sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{k3^k} = \ln\frac{3}{2} - \frac{1}{3}$。代入得 $S = \frac{1}{9} - \frac{2}{3}\left(\ln\frac{3}{2} - \frac{1}{3}\right) = \frac{1}{3} - \frac{2}{3}\ln\frac{3}{2}$。
公式：S = \frac{1}{3} - \frac{2}{3}\ln\frac{3}{2}
提示：注意常数项合并：$\frac{1}{9}+\frac{2}{9}=\frac{1}{3}$。
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