西北工业大学 2025年数学分析第1题

要证明 $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \ln\left(1+\frac{1}{x}\right)=0$，使用 $\varepsilon-M$ 定义：对任意 $\varepsilon>0$，存在 $M>0$，使得当 $x<-M$ 时，有 $\left|\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)-0\right|<\varepsilon$。

当 $x<-1$ 时，$t=1/x \in (-1,0)$，利用不等式 $\frac{t}{1+t} \le \ln(1+t) \le t$（对 $t>-1$ 成立）。代入 $t=1/x$ 得：$\frac{1/x}{1+1/x} \le \ln\left(1+\frac{1}{x}\right) \le \frac{1}{x}$。化简左边：$\frac{1/x}{1+1/x}=\frac{1}{x+1}$。

由于 $\ln(1+1/x)$ 是负数，其绝对值满足 $|\ln(1+1/x)| \le \max\left\{\left|\frac{1}{x+1}\right|, \left|\frac{1}{x}\right|\right\}$。当 $x<-1$ 时，$|x+1| < |x|$，因此 $\left|\frac{1}{x+1}\right| > \left|\frac{1}{x}\right|$，所以 $|\ln(1+1/x)| \le \frac{1}{|x+1|}$。

要使得 $|\ln(1+1/x)|<\varepsilon$，只需 $\frac{1}{|x+1|}<\varepsilon$，即 $|x+1|>\frac{1}{\varepsilon}$。取 $M=1+\frac{1}{\varepsilon}$，则当 $x<-M$ 时，$x+1<-M+1=-\frac{1}{\varepsilon}$，从而 $|x+1|>\frac{1}{\varepsilon}$，满足条件。因此极限为0。

要证明 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{e^n}{n!}=0$，即对任意 $\varepsilon>0$，存在 $N \in \mathbb{N}$，使得当 $n>N$ 时，$\left|\frac{e^n}{n!}-0\right|<\varepsilon$。

令 $a_n = \frac{e^n}{n!}$，计算比值：$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{e^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{e^n} = \frac{e}{n+1}$。当 $n \ge 3$ 时，$\frac{e}{n+1} \le \frac{e}{4} < 1$，数列从 $n=3$ 开始严格递减。

取 $n_0=4$，则当 $n \ge 4$ 时，$\frac{e}{n+1} \le \frac{e}{5} < \frac{1}{2}$。于是 $a_n = a_4 \cdot \prod_{k=4}^{n-1} \frac{e}{k+1} \le a_4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-4}$。由于 $\left(\frac{1}{2}\right)^{n-4} \to 0$，由夹逼定理得 $a_n \to 0$。

对任意 $\varepsilon>0$，取 $N = \max\left\{4, \left\lceil \log_{1/2}\left(\frac{\varepsilon}{a_4}\right) \right\rceil + 4\right\}$，则当 $n>N$ 时，$a_n \le a_4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-4} < \varepsilon$。因此极限为0。