西北工业大学 2025年数学分析第3题
📝 题目
3．（15分）试用确界原理证明有限覆盖定理．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：构造集合 S，并说明其非空有上界
设闭区间 \([a, b]\) 被一族开区间 \(\{U_\alpha\}_{\alpha \in I}\) 所覆盖。定义集合
\[ S = \{ x \in [a, b] \mid [a, x] \text{ 可以被有限个 } U_\alpha \text{ 覆盖} \}. \]
由于 \(a\) 必被某个开区间覆盖，故 \([a, a]\) 可被有限覆盖，因此 \(a \in S\)，即 \(S \neq \varnothing\)。又 \(S \subseteq [a, b]\)，故 \(S\) 有上界 \(b\)。
公式：S = \{ x \in [a, b] \mid [a, x] \text{ 可被有限覆盖} \}
提示：注意 S 的定义中要求的是闭区间 [a, x] 能被有限覆盖，而不是开区间。
步骤 2/5
目标：应用确界原理，得到上确界 c
由确界原理，非空有上界的实数集 \(S\) 必有上确界，记 \(c = \sup S\)。显然 \(c \in [a, b]\)。
公式：c = \sup S, \quad a \leq c \leq b
提示：确界原理是实数完备性的核心，此处直接引用即可。
步骤 3/5
目标：证明 c ∈ S
因为 \(c\) 被某个开区间 \(U_{\alpha_0}\) 覆盖，且 \(U_{\alpha_0}\) 是开区间，存在 \(\delta > 0\) 使得 \((c - \delta, c + \delta) \subseteq U_{\alpha_0}\)。由 \(c = \sup S\)，存在 \(x_0 \in S\) 且 \(x_0 > c - \delta\)。根据 \(S\) 的定义，\([a, x_0]\) 可被有限个开区间覆盖，再加上 \(U_{\alpha_0}\) 即可覆盖 \([a, c]\)（因为 \((x_0, c] \subseteq (c-\delta, c+\delta) \subseteq U_{\alpha_0}\)）。故 \(c \in S\)。
公式：\exists \delta > 0: (c-\delta, c+\delta) \subseteq U_{\alpha_0}, \quad \exists x_0 \in S: x_0 > c-\delta
提示：关键点：利用上确界的性质找到 S 中足够接近 c 的点 x₀，从而将 [a, c] 的覆盖归结为 [a, x₀] 的有限覆盖加上一个开区间。
步骤 4/5
目标：证明 c = b（反证法）
假设 \(c < b\)。由于 \(c \in S\)，\([a, c]\) 可被有限覆盖。又 \(c\) 被某个 \(U_{\alpha_1}\) 覆盖，存在 \(\varepsilon > 0\) 使得 \((c-\varepsilon, c+\varepsilon) \subseteq U_{\alpha_1}\)，且可取 \(\varepsilon\) 足够小使 \(c+\varepsilon < b\)。那么 \([a, c+\varepsilon]\) 可由覆盖 \([a, c]\) 的有限个开区间加上 \(U_{\alpha_1}\) 覆盖，从而 \(c+\varepsilon \in S\)，这与 \(c = \sup S\) 矛盾。故假设不成立，必有 \(c = b\)。
公式：c < b \Rightarrow \exists \varepsilon > 0: c+\varepsilon \in S, \text{ 与 } c = \sup S \text{ 矛盾}
提示：反证法：若 c < b，则可利用 c 的开覆盖性质将覆盖向右延伸，得到比 c 更大的 S 中的点，与上确界定义矛盾。
步骤 5/5
目标：得出结论
由前两步，\(c = b\) 且 \(c \in S\)，故 \(b \in S\)。根据 \(S\) 的定义，\([a, b]\) 可被有限个开区间覆盖。这就证明了闭区间 \([a, b]\) 的任意开覆盖都有有限子覆盖，即有限覆盖定理成立。
公式：b \in S \Rightarrow [a, b] \text{ 可被有限覆盖}
提示：最终结论要明确：有限覆盖定理得证，且证明的关键是确界原理的应用。
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