西北工业大学 2025年数学分析第4题

设函数 $f$ 在闭区间 $[a, b]$ 上有界，即存在常数 $M > 0$，使得对所有 $x \in [a, b]$ 有 $|f(x)| \leq M$。设 $f$ 在 $[a, b]$ 上仅有有限个间断点，记这些间断点的集合为 $D = \{d_1, d_2, \dots, d_k\}$。我们的目标是证明 $f$ 在 $[a, b]$ 上黎曼可积。根据达布判别法，只需证明：对任意给定的 $\varepsilon > 0$，存在区间 $[a, b]$ 的一个划分 $P$，使得达布上和 $U(P, f)$ 与达布下和 $L(P, f)$ 之差小于 $\varepsilon$。

取 $\delta > 0$ 足够小，使得每个间断点 $d_i$ 的开邻域 $(d_i - \delta, d_i + \delta)$ 互不相交，并且这些小区间的总长度小于 $\frac{\varepsilon}{4M}$。具体地，我们可以令 $\delta = \frac{\varepsilon}{8Mk}$。此时，每个小区间长度为 $2\delta$，$k$ 个小区间的总长度为 $2k\delta = \frac{\varepsilon}{4M}$。这些邻域将包含所有间断点。

考虑去掉上述开邻域后的闭集 $K = [a, b] \setminus \bigcup_{i=1}^k (d_i-\delta, d_i+\delta)$。$K$ 是有限个闭区间的并集，因此是紧集。由于 $f$ 在 $K$ 上连续（间断点已被挖去），根据一致连续性定理，存在 $\eta > 0$，使得对任意 $x, y \in K$，只要 $|x - y| < \eta$，就有 $|f(x) - f(y)| < \frac{\varepsilon}{2(b-a)}$。

构造区间 $[a, b]$ 的一个划分 $P$，使其满足以下两个条件： 1. 所有间断点邻域的端点（即 $d_i \pm \delta$ 以及与 $a, b$ 的交点）都作为分点。 2. 在连续部分 $K$ 上，每个小区间的长度都小于 $\eta$。 这样，划分 $P$ 将区间分成两类子区间： - 第一类：包含间断点邻域的子区间，这些子区间的总长度不超过 $\frac{\varepsilon}{4M}$。 - 第二类：完全落在 $K$ 内的子区间，每个子区间的长度小于 $\eta$。

在第一类子区间（包含间断点邻域）上，由于 $f$ 有界，函数的最大振幅不超过 $2M$（因为 $|f(x)| \leq M$，所以上确界与下确界之差 $\leq 2M$）。这些子区间的总长度不超过 $\frac{\varepsilon}{4M}$。因此，这些子区间对 $U(P,f) - L(P,f)$ 的贡献不超过总长度乘以最大振幅： $$\text{贡献}_1 \leq \frac{\varepsilon}{4M} \cdot 2M = \frac{\varepsilon}{2}.$$

在第二类子区间（连续部分 $K$ 上）上，由于每个小区间长度小于 $\eta$，由一致连续性，每个小区间上函数的振幅小于 $\frac{\varepsilon}{2(b-a)}$。这些子区间的总长度不超过整个区间长度 $b-a$。因此，这些子区间对 $U(P,f) - L(P,f)$ 的贡献不超过： $$\text{贡献}_2 \leq (b-a) \cdot \frac{\varepsilon}{2(b-a)} = \frac{\varepsilon}{2}.$$

将两类子区间的贡献相加，得到整个区间上达布上下和之差： $$U(P,f) - L(P,f) = \text{贡献}_1 + \text{贡献}_2 \leq \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.$$ 由于 $\varepsilon$ 是任意正数，根据达布判别法，函数 $f$ 在 $[a, b]$ 上黎曼可积。